2.2. ETUDE DES TEMPS DE PASSAGE
La chaîne de Markov satisfait encore la propriété de Markov si sa loi est conditionnée
par la position de la chaîne à un temps d’arrêt. Cette propriété s’appelle la propriété de
Markov forte et est fondamentale pour les applications.
Théorème 2.2.3 (Propriété de Markov forte). Soit (X n ) n une chaîne de Markov et
T un temps d’arrêt. Conditionnellement à X T sur {T < ∞}, la suite (X T +n ) n≥1 est une
chaîne de Markov indépendante de la trajectoire de (X n ) n jusqu’au temps T . Autrement
dit, pour tout événement A ⊂ Z tel que A ∩ {T = n} ∈ F n pour tout n,
P(A ∩ {X T +1 = i 1 , . . . , X T +m = i m } | X T = i, T < ∞)
= P(A | X T = i, T < ∞) P i (X 1 = i 1 , . . . , X m = i m ).
(2.5)
Preuve. Il suffit de remarquer que
P(A ∩ {T = n} ∩ {X T +1 = i 1 , . . . , X T +m = i m } | X T = i)
= P(A ∩ {T = n} | X T = i) P i (X 1 = i 1 , . . . , X m = i m ).
2.2.2 Loi du premier temps de retour en 0 d’une marche aléatoire
simple
Imaginons une particule de plancton se déplaçant sur une colonne verticale. A-t-elle tendance à aller vers la surface ou vers le fond, et va-t-elle y rester ? Pour cela nous pouvons
étudier ses temps de passage en un point de la colonne, en fonction des probabilités de
monter ou de descendre de cette particule.
Dans ce paragraphe, nous allons étudier les temps de passage en 0 d’une marche aléatoire
simple (X n ) n (sur Z), issue de 0 : X n =
n
k=1 Z k , et les variables aléatoires Z k sont
indépendantes et de même loi. Nous nous intéressons à la suite des temps d’arrêt où la
marche se retrouve à l’origine. Pour décrire ces instants, il suffit de considérer l’instant
de premier retour à l’origine, puisque les instants suivants sont des sommes de copies
indépendantes de celui-ci par la propriété de Markov forte. En effet, si
T 0 = inf{n ≥ 1 ; X n = 0} ∈ N
∗ ∪ {∞},
désigne l’instant de premier retour en 0, (en posant min{∅} = ∞), et T
j
0 désigne l’instant
du j-ième retour en 0 pour la marche aléatoire, nous remarquons que sur {T
j
0 < ∞},
T
j+1
0
= T
j
0 + ˜
τ 0 ,
où ˜
τ 0 est le premier temps d’atteinte de 0 par la marche aléatoire (X T
j
0 +n ) n≥0 . L’égalité
reste vraie sur {T
j
0 = +∞}. Par application de la propriété de Markov forte (2.5) au
temps d’arrêt T
j
0 , nous en déduisons que ˜
τ 0 est indépendant de T
j
0 et a même loi que T 0 .
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La chaîne de Markov satisfait encore la propriété de Markov si sa loi est conditionnée
par la position de la chaîne à un temps d’arrêt. Cette propriété s’appelle la propriété de
Markov forte et est fondamentale pour les applications.
Théorème 2.2.3 (Propriété de Markov forte). Soit (X n ) n une chaîne de Markov et
T un temps d’arrêt. Conditionnellement à X T sur {T < ∞}, la suite (X T +n ) n≥1 est une
chaîne de Markov indépendante de la trajectoire de (X n ) n jusqu’au temps T . Autrement
dit, pour tout événement A ⊂ Z tel que A ∩ {T = n} ∈ F n pour tout n,
P(A ∩ {X T +1 = i 1 , . . . , X T +m = i m } | X T = i, T < ∞)
= P(A | X T = i, T < ∞) P i (X 1 = i 1 , . . . , X m = i m ).
(2.5)
Preuve. Il suffit de remarquer que
P(A ∩ {T = n} ∩ {X T +1 = i 1 , . . . , X T +m = i m } | X T = i)
= P(A ∩ {T = n} | X T = i) P i (X 1 = i 1 , . . . , X m = i m ).
2.2.2 Loi du premier temps de retour en 0 d’une marche aléatoire
simple
Imaginons une particule de plancton se déplaçant sur une colonne verticale. A-t-elle tendance à aller vers la surface ou vers le fond, et va-t-elle y rester ? Pour cela nous pouvons
étudier ses temps de passage en un point de la colonne, en fonction des probabilités de
monter ou de descendre de cette particule.
Dans ce paragraphe, nous allons étudier les temps de passage en 0 d’une marche aléatoire
simple (X n ) n (sur Z), issue de 0 : X n =
n
k=1 Z k , et les variables aléatoires Z k sont
indépendantes et de même loi. Nous nous intéressons à la suite des temps d’arrêt où la
marche se retrouve à l’origine. Pour décrire ces instants, il suffit de considérer l’instant
de premier retour à l’origine, puisque les instants suivants sont des sommes de copies
indépendantes de celui-ci par la propriété de Markov forte. En effet, si
T 0 = inf{n ≥ 1 ; X n = 0} ∈ N
∗ ∪ {∞},
désigne l’instant de premier retour en 0, (en posant min{∅} = ∞), et T
j
0 désigne l’instant
du j-ième retour en 0 pour la marche aléatoire, nous remarquons que sur {T
j
0 < ∞},
T
j+1
0
= T
j
0 + ˜
τ 0 ,
où ˜
τ 0 est le premier temps d’atteinte de 0 par la marche aléatoire (X T
j
0 +n ) n≥0 . L’égalité
reste vraie sur {T
j
0 = +∞}. Par application de la propriété de Markov forte (2.5) au
temps d’arrêt T
j
0 , nous en déduisons que ˜
τ 0 est indépendant de T
j
0 et a même loi que T 0 .
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