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CHAPITRE 2. POPULATIONS SPATIALES ET TEMPS DISCRET
Si X 0 = i alors T i est le temps de premier retour à l’état i et T j , (j = i), est le temps de
premier passage en l’état j. La loi de T i est alors donnée par les f
(n)
i,i = P(T i = n | X 0 = i),
pour tout n ≥ 1 (n peut éventuellement être infini). Remarquons que f
(1)
i,i = P i,i . On verra
dans le paragraphe suivant une méthode de calcul de ces lois.
Remarquons que l’observation de X 0 , . . . , X n , c’est-à-dire du processus jusqu’à l’instant
n, permet de décider si T i vaut n ou non, s’il est plus petit ou plus grand que n, puisque
par exemple,
{T i = n} = {X 1 = i} ∩ . . . ∩ {X n−1 = i} ∩ {X n = i}.
En d’autres termes, nous avons
{T i = n}, {T i < n}, {T i > n} ∈ F n .
Nous allons nous intéresser plus généralement à tous les temps aléatoires qui vérifient
cette propriété, appelés temps d’arrêt.
Définition 2.2.1 On appelle temps d’arrêt (relatif à la filtration (F n ) n ) une variable
aléatoire T à valeurs dans N ∪ {+∞} qui vérifie que pour tout n ∈ N,
{T = n} ∈ F n .
(2.4)
Exemple 2.2.2 Les temps aléatoires T i sont des temps d’arrêt. Plus généralement, pour
tout A ⊂ Z, le temps d’atteinte de A par la chaîne de Markov, défini par
T A = inf{n ≥ 0 ; X n ∈ A}
est un temps d’arrêt. En effet,
{T A = n} = {X 0 /
∈ A} ∩ · · · ∩ {X n−1 /
∈ A} ∩ {X n ∈ A} ∈ F n .
Le k-ième temps de passage en A est encore un temps d’arrêt. On peut le montrer par
exemple par récurrence sur k en remarquant que
{T
k
i = n} = ∪
n−1
m=0 {T
k−1
i
= m} ∩ {X m+1 /
∈ A} ∩ · · · ∩ {X n−1 /
∈ A} ∩ {X n ∈ A}.
En revanche, l’instant de dernier passage en A,
L A = sup{n ≥ 0 ; X n ∈ A},
n’est pas un temps d’arrêt. Pour savoir si L A ≤ n, il faut connaître les états de la chaîne
ultérieurs à n.
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