2.2. ETUDE DES TEMPS DE PASSAGE
base à une autre dans la structure d’ADN sont toutes égales à un certain nombre
α
3
, avec
0 < α < 1. Ainsi la matrice de transition vaut
P =
⎛
⎜
⎜
⎝
1 − α
α
3
α
3
α
3
α
3
1 − α
α
3
α
3
α
3
α
3
1 − α
α
3
α
3
α
3
α
3
1 − α
⎞
⎟
⎟
⎠ .
La chaîne de Markov de matrice de transition P est irréductible. Remarquons également
que la somme des éléments de chaque colonne est égale à 1 (on a déjà cette propriété pour
les lignes). Dans ce cas, la matrice de transition est dite doublement stochastique. Cela
reste vrai pour toutes ses puissances. Si la répartition ancestrale des bases est uniforme,
alors elle restera uniforme. En effet, calculons par exemple la probabilité d’avoir une base
de Guanine au temps n. Par une analogie entre {A, G, C, T } et {1, 2, 3, 4}, cette probabilité
vaut
Q
G
n =
4
i=1
(P 0 ) i P
(n)
i,2 =
1
4
4
i=1
P
(n)
i,2 =
1
4
.
En revanche, si la répartition initiale vaut (
1
3
,
1
6
,
1
6
,
1
3
), alors au temps n = 3,
Q
G
3 =
4
i=1
(P 0 ) i P
(3)
i,2 =
1
3
P
(3)
1,2 +
1
6
P
(3)
2,2 +
1
6
P
(3)
3,2 +
1
3
P
(3)
4,2 .
On peut vérifier facilement que P
(3)
2,2 = (1 − α)
3 + α
2 (1 − α) + 2
α 3
9
et que donc pour i = 2,
P
(3)
i,2 =
1
3
(1 − P
(3)
2,2 ). Ainsi, Q
G
3 =
1
6
(
5
3
−
2
3
P
(3)
2,2 ).
2.2 Etude des temps de passage
2.2.1 Temps d’arrêt et propriété de Markov forte
Il est important de connaître la chaîne de Markov aux temps discrets n, mais certains
temps aléatoires vont aussi s’avérer fondamentaux, en particulier ceux dont la connaissance est liée à la dynamique du processus. Considérons une chaîne de Markov (X n ) n . Les
temps successifs de passage de ce processus à un état particulier i sont essentiels. On les
définit ainsi :
T i = inf{n ≥ 1 ; X n = i}
T
1
i
= T i ; T
k+1
i
= inf{n > T
k
i ; X n = i}, pour tout k ≥ 1,
(2.3)
avec la convention habituelle que l’infimum de l’ensemble vide vaut +∞. La suite (T
k
i ) k
décrit les temps de passage successifs de la chaîne en l’état i.
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base à une autre dans la structure d’ADN sont toutes égales à un certain nombre
α
3
, avec
0 < α < 1. Ainsi la matrice de transition vaut
P =
⎛
⎜
⎜
⎝
1 − α
α
3
α
3
α
3
α
3
1 − α
α
3
α
3
α
3
α
3
1 − α
α
3
α
3
α
3
α
3
1 − α
⎞
⎟
⎟
⎠ .
La chaîne de Markov de matrice de transition P est irréductible. Remarquons également
que la somme des éléments de chaque colonne est égale à 1 (on a déjà cette propriété pour
les lignes). Dans ce cas, la matrice de transition est dite doublement stochastique. Cela
reste vrai pour toutes ses puissances. Si la répartition ancestrale des bases est uniforme,
alors elle restera uniforme. En effet, calculons par exemple la probabilité d’avoir une base
de Guanine au temps n. Par une analogie entre {A, G, C, T } et {1, 2, 3, 4}, cette probabilité
vaut
Q
G
n =
4
i=1
(P 0 ) i P
(n)
i,2 =
1
4
4
i=1
P
(n)
i,2 =
1
4
.
En revanche, si la répartition initiale vaut (
1
3
,
1
6
,
1
6
,
1
3
), alors au temps n = 3,
Q
G
3 =
4
i=1
(P 0 ) i P
(3)
i,2 =
1
3
P
(3)
1,2 +
1
6
P
(3)
2,2 +
1
6
P
(3)
3,2 +
1
3
P
(3)
4,2 .
On peut vérifier facilement que P
(3)
2,2 = (1 − α)
3 + α
2 (1 − α) + 2
α 3
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et que donc pour i = 2,
P
(3)
i,2 =
1
3
(1 − P
(3)
2,2 ). Ainsi, Q
G
3 =
1
6
(
5
3
−
2
3
P
(3)
2,2 ).
2.2 Etude des temps de passage
2.2.1 Temps d’arrêt et propriété de Markov forte
Il est important de connaître la chaîne de Markov aux temps discrets n, mais certains
temps aléatoires vont aussi s’avérer fondamentaux, en particulier ceux dont la connaissance est liée à la dynamique du processus. Considérons une chaîne de Markov (X n ) n . Les
temps successifs de passage de ce processus à un état particulier i sont essentiels. On les
définit ainsi :
T i = inf{n ≥ 1 ; X n = i}
T
1
i
= T i ; T
k+1
i
= inf{n > T
k
i ; X n = i}, pour tout k ≥ 1,
(2.3)
avec la convention habituelle que l’infimum de l’ensemble vide vaut +∞. La suite (T
k
i ) k
décrit les temps de passage successifs de la chaîne en l’état i.
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