3) Le nombre de descendants de i croît de g 2 N à
N
2
en τ
(G3)
N
générations, où τ
(G3)
N
≤
log log N avec probabilité 1 − o(
1
N
).
4) Le nombre de non-descendants de i décroît de au plus
N
2
à au plus b 1 N en τ
(B1)
N
générations, où b 1 ∈ (0, 1/2) est une constante bien choisie, et τ
(B1)
N
≤ log log N avec
probabilité 1 − o(
1
N
).
5) Le nombre de non-descendants de i décroît de au plus b 1 N à (log N )
2 en τ
(B2)
N
générations, où τ
(B2)
N
vaut environ − log N/ log(1 − r) générations. Plus précisément, les
probabilités
P
τ
(B2)
N
>
1 +
ε
2
− log N
log(1 − r)
et P
τ
(B2)
N
<
1 −
ε
2
− log N
log(1 − r)
sont de l’ordre de o(
1
N
).
6) Les non-descendants s’éteignent : le nombre de non-descendants de i décroît de au plus
(log N )
2 à 0 en τ
(B3)
N
générations, où τ
(B3)
N
= O
(log log N )
2
avec grande probabilité.
Tous ces résultats combinés montrent qu’avec probabilité tendant vers 1, le premier temps
pour lequel un individu devient l’ancêtre commun de toute la population est borné supérieurement par
O
(log log N )
2
+
1 +
ε
2
log N
1
log(1 + r)
−
1
log(1 − r)
,
ce qui entraîne la borne supérieure dans le théorème.
La borne inférieure est celle qui nécessite que les probabilités correspondant aux phases en
O(log N ) soient de l’ordre de o(
1
N
). En effet, cela garantit qu’avec une probabilité tendant
vers 1, aucune des N familles nées des individus initiaux ne peut atteindre g 2 N en moins
de
1 −
ε
2
log N
log(1+r)
générations, et qu’aucune famille atteignant N/2 ne peut atteindre
N −(log N )
2 en moins de −
1−
ε
2
log N
log(1−r)
générations. Ainsi, avec une probabilité tendant
vers 1, un individu a besoin de au moins
1 −
ε
2
log N
1
log(1+r)
−
1
log(1−r)
générations
pour devenir un ancêtre commun de toute la population.
Nous n’allons pas détailler toutes les étapes de cette preuve qui utilisent principalement
les deux lemmes précédents et reposent en grande partie sur des résultats adhoc pour les
processus de Galton-Watson dont la loi de reproduction est une loi de Poisson.
Donnons la preuve de l’étape 1. Nous appliquons le Lemme 7.6.3 avec
b N = (log N )
2
et m N =
3
log(1 + r)
log log N.
Alors la probabilité que le processus (G n ) n issu de 1 atteigne (log N )
2 en moins de m N
générations est asymptotiquement équivalente à celle d’un processus de Galton-Watson
262
CHAPITRE 7. QUELQUES DÉVELOPPEMENTS MODERNES ...
N
2
en τ
(G3)
N
générations, où τ
(G3)
N
≤
log log N avec probabilité 1 − o(
1
N
).
4) Le nombre de non-descendants de i décroît de au plus
N
2
à au plus b 1 N en τ
(B1)
N
générations, où b 1 ∈ (0, 1/2) est une constante bien choisie, et τ
(B1)
N
≤ log log N avec
probabilité 1 − o(
1
N
).
5) Le nombre de non-descendants de i décroît de au plus b 1 N à (log N )
2 en τ
(B2)
N
générations, où τ
(B2)
N
vaut environ − log N/ log(1 − r) générations. Plus précisément, les
probabilités
P
τ
(B2)
N
>
1 +
ε
2
− log N
log(1 − r)
et P
τ
(B2)
N
<
1 −
ε
2
− log N
log(1 − r)
sont de l’ordre de o(
1
N
).
6) Les non-descendants s’éteignent : le nombre de non-descendants de i décroît de au plus
(log N )
2 à 0 en τ
(B3)
N
générations, où τ
(B3)
N
= O
(log log N )
2
avec grande probabilité.
Tous ces résultats combinés montrent qu’avec probabilité tendant vers 1, le premier temps
pour lequel un individu devient l’ancêtre commun de toute la population est borné supérieurement par
O
(log log N )
2
+
1 +
ε
2
log N
1
log(1 + r)
−
1
log(1 − r)
,
ce qui entraîne la borne supérieure dans le théorème.
La borne inférieure est celle qui nécessite que les probabilités correspondant aux phases en
O(log N ) soient de l’ordre de o(
1
N
). En effet, cela garantit qu’avec une probabilité tendant
vers 1, aucune des N familles nées des individus initiaux ne peut atteindre g 2 N en moins
de
1 −
ε
2
log N
log(1+r)
générations, et qu’aucune famille atteignant N/2 ne peut atteindre
N −(log N )
2 en moins de −
1−
ε
2
log N
log(1−r)
générations. Ainsi, avec une probabilité tendant
vers 1, un individu a besoin de au moins
1 −
ε
2
log N
1
log(1+r)
−
1
log(1−r)
générations
pour devenir un ancêtre commun de toute la population.
Nous n’allons pas détailler toutes les étapes de cette preuve qui utilisent principalement
les deux lemmes précédents et reposent en grande partie sur des résultats adhoc pour les
processus de Galton-Watson dont la loi de reproduction est une loi de Poisson.
Donnons la preuve de l’étape 1. Nous appliquons le Lemme 7.6.3 avec
b N = (log N )
2
et m N =
3
log(1 + r)
log log N.
Alors la probabilité que le processus (G n ) n issu de 1 atteigne (log N )
2 en moins de m N
générations est asymptotiquement équivalente à celle d’un processus de Galton-Watson
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CHAPITRE 7. QUELQUES DÉVELOPPEMENTS MODERNES ...