7.6. ARBRES GÉNÉALOGIQUES DE POPULATIONS SEXUÉES
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7.6.2 Nombre de générations pour arriver à l’ancêtre commun
Ces préliminaires étant acquis, nous allons pouvoir, comme pour le processus de WrightFisher haploïde, connaître l’ordre de grandeur du nombre de générations qu’il faut pour
trouver au moins un ancêtre commun à toute la population actuelle, de taille N .
Appelons τ N ce nombre de générations.
Théorème 7.6.5 Supposons que r ∈]0, 1[. Pour tout ε > 0,
lim
N →+∞
P((1 − ε)C(r) log N ≤ τ N ≤ (1 + ε)C(r) log N ) = 1,
où C(r) =
1
log(1 + r)
−
1
log(1 − r)
.
Nous en déduisons que la suite
τ N
C(r) log N
N
converge en probabilité vers 1, quand N
tend vers l’infini.
Remarquons que l’arbre généalogique de la population est ici bien plus court que dans le
modèle de Wright-Fisher haploïde ( r = 0). La recombinaison, aussi petit soit r, permet
un brassage génétique beaucoup plus rapide. Le cas où r = 1 a été traité dans [21] et
l’auteur montre que la suite
log 2
log N
τ N
N
converge en probabilité vers 1 quand N tend
vers l’infini.
Preuve. Nous allons donner quelques grandes lignes de la preuve.
Le processus de reproduction étant initié à la génération 0, nous considérons sa dynamique
dans le sens “normal” du temps. Par la Proposition 7.6.2, nous connaissons la loi de la
taille de chaque sous-population issue de l’un des individus de la génération initiale.
La preuve du Théorème 7.6.5 se décline alors en plusieurs étapes, décrites ci-dessous.
On se donne ε ∈ (0, 1/2).
1) Avec une probabilité qui tend vers 1 quand N tend vers l’infini, il existe un individu i
dans la génération 0 pour lequel la descendance (G
i
n , n ∈ N) atteint (log N )
2 après τ
(G1)
N
générations, où τ
(G1)
N
= O
(log log N )
2
avec grande probabilité.
2) Le nombre de descendants de i croît de (log N )
2 à g 2 N en τ
(G2)
N
générations, où
g 2 ∈ (0, 1/2) est une constante bien choisie, et τ
(G2)
N
est de l’ordre de
log N
log(1+r)
. Plus
précisément, les probabilités
P
τ
(G2)
N
>
1 +
ε
2
log N
log(1 + r)
et P
τ
(G2)
N
<
1 −
ε
2
log N
log(1 + r)
sont de l’ordre de o(
1
N
).
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7.6.2 Nombre de générations pour arriver à l’ancêtre commun
Ces préliminaires étant acquis, nous allons pouvoir, comme pour le processus de WrightFisher haploïde, connaître l’ordre de grandeur du nombre de générations qu’il faut pour
trouver au moins un ancêtre commun à toute la population actuelle, de taille N .
Appelons τ N ce nombre de générations.
Théorème 7.6.5 Supposons que r ∈]0, 1[. Pour tout ε > 0,
lim
N →+∞
P((1 − ε)C(r) log N ≤ τ N ≤ (1 + ε)C(r) log N ) = 1,
où C(r) =
1
log(1 + r)
−
1
log(1 − r)
.
Nous en déduisons que la suite
τ N
C(r) log N
N
converge en probabilité vers 1, quand N
tend vers l’infini.
Remarquons que l’arbre généalogique de la population est ici bien plus court que dans le
modèle de Wright-Fisher haploïde ( r = 0). La recombinaison, aussi petit soit r, permet
un brassage génétique beaucoup plus rapide. Le cas où r = 1 a été traité dans [21] et
l’auteur montre que la suite
log 2
log N
τ N
N
converge en probabilité vers 1 quand N tend
vers l’infini.
Preuve. Nous allons donner quelques grandes lignes de la preuve.
Le processus de reproduction étant initié à la génération 0, nous considérons sa dynamique
dans le sens “normal” du temps. Par la Proposition 7.6.2, nous connaissons la loi de la
taille de chaque sous-population issue de l’un des individus de la génération initiale.
La preuve du Théorème 7.6.5 se décline alors en plusieurs étapes, décrites ci-dessous.
On se donne ε ∈ (0, 1/2).
1) Avec une probabilité qui tend vers 1 quand N tend vers l’infini, il existe un individu i
dans la génération 0 pour lequel la descendance (G
i
n , n ∈ N) atteint (log N )
2 après τ
(G1)
N
générations, où τ
(G1)
N
= O
(log log N )
2
avec grande probabilité.
2) Le nombre de descendants de i croît de (log N )
2 à g 2 N en τ
(G2)
N
générations, où
g 2 ∈ (0, 1/2) est une constante bien choisie, et τ
(G2)
N
est de l’ordre de
log N
log(1+r)
. Plus
précisément, les probabilités
P
τ
(G2)
N
>
1 +
ε
2
log N
log(1 + r)
et P
τ
(G2)
N
<
1 −
ε
2
log N
log(1 + r)
sont de l’ordre de o(
1
N
).
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