Soient alors x 1 , · · · , x m positifs et inférieurs à b, nous en déduisons que
P(G 1 = x 1 , · · · , G m = x m ) = P(G 1 = x 1 | G 0 = 1) · · · P(G m = x m | G m−1 = x m−1 )
= P(Y 1 = x 1 , · · · , Y m = x m )L(x 1 | 1) · · · L(x m | x m−1 )
≤ P(Y 1 = x 1 , · · · , Y m = x m ) e
2(1+r)mb 2 /N ,
et
P(G 1 = x 1 , · · · , G m = x m ) ≥ P(Y 1 = x 1 , · · · , Y m = x m ) e
−2(1+r)mb 2 /N .
Ainsi,
P(τ
G
b > m) =
0≤x1 · · ·
0≤xm P(G 1 = x 1 , · · · , G m = x m )
≤
0≤x1 · · ·
0≤xm P(Y 1 = x 1 , · · · , Y m = x m ) e
2(1+r)mb 2 /N
≤ P(τ
Y
b > m) e
2(1+r)mb 2 /N ,
(7.6.19)
et similairement,
P(τ
G
b > m) ≥ P(τ
Y
b > m) e
−2(1+r)mb 2 /N .
L’hypothèse m b
2 = o(N ) implique alors que P(τ
G
b > m) = P(τ
Y
b > m)(1 + o(1)).
La preuve de la deuxième assertion suit exactement le même raisonnement avec les sommations de (7.6.19) prises sur 0 < x n < b au lieu de 0 ≤ x n < b .
Nous avons vu que si G n est petit devant N , le processus (G n , n ∈ N) se comporte
quand N tend vers l’infini comme un processus de Galton-Watson de loi de reproduction
la loi de Poisson P(1 + r). En revanche, si G n est de l’ordre de N , nous savons par
la Loi des Grands Nombres que G n+1 est proche de sa moyenne. Nous avons même des
inégalités précises qui permettent de contrôler cette approximation, connues sous le nom
d’inégalités de Bernstein.
Lemme 7.6.4 (Voir [69] Lemma 7). Soit X une variable aléatoire de loi binomiale
B(N, p), où p ∈ (0, 1), et x > 0. Alors
P(X ≥ N p + x) ≤ exp
−x
2
2Np(1 − p) + (2/3)x
,
P(X ≤ N p − x) ≤ exp
−x
2
2Np(1 − p) + (2/3)x
.
De la même façon, quand N tend vers l’infini et si B n est petit devant N , le processus
(B n , n ∈ N) se comporte comme un processus de Galton-Watson de loi de reproduction
la loi de Poisson P(1 − r) , alors que si B n est de l’ordre de N , le processus est proche
de sa moyenne.
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CHAPITRE 7. QUELQUES DÉVELOPPEMENTS MODERNES ...