7.6. ARBRES GÉNÉALOGIQUES DE POPULATIONS SEXUÉES
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Si G n est petit devant N , la loi binomiale trouvée à la Proposition 7.6.2 est proche (quand
N tend vers l’infini), d’une loi de Poisson de paramètre (1 + r)G n . Ainsi, le processus
(G n , n ∈ N) sera proche d’un processus de Galton-Watson de loi de reproduction la loi de
Poisson P(1+r). En d’autres termes, malgré la dépendance entre les tailles des différentes
familles, le développement initial de G n est très proche d’un processus de Galton-Watson
de loi de reproduction P(1 + r). De la même façon, quand N tend vers l’infini et que
B n est petit devant N , le processus (B n , n ∈ N) se comporte comme un processus de
Galton-Watson de loi de reproduction P(1 − r).
La proposition suivante montre plus précisément que les probabilités d’atteinte des points
par G n sont approximativement proches de celles d’un processus de Galton-Watson de
loi de reproduction P(1 + r). (Un résultat de même type a lieu pour B n .)
Lemme 7.6.3 (Adaptation de Chang [21] Lemme 3).
Soit (Y n ) n un processus de Galton-Watson de loi de reproduction une loi de Poisson de
paramètre 1 + r . Pour tout b ≥ 0, posons
τ
Y
b = inf{n, Y n ≥ b} ; τ
Y
0,b = inf{n, Y n ≥ b ou Y t = 0},
et des notations de même type pour le processus (G n ) n .
Alors, si m ≥ 0 et b croissent avec N de telle sorte que m b
2 = o(N ), on a quand
N → ∞,
P(τ
G
b > m) = P(τ
Y
b > m)(1 + o(1)) ; P(τ
G
0,b > m) = P(τ
Y
0,b > m)(1 + o(1)).
Preuve.
Soient x > 0 et y ≥ 0 ou x = y = 0. Introduisons le rapport de vraisemblance
L(y | x) =
P(G n+1 = y | G n = x)
P(Y n+1 = y | Y n = x)
=
P( B(N, (1 + r)
x
N
− r(
x
N
)
2 ) = y)
P(P((1 + r)x) = y)
≤ e
(1+r)x
1 − (1 + r)
x
N
+ r(
x
N
)
2
N −y
,
de telle sorte que pour x < b , y < b et N suffisamment large,
log L(y | x) ≤
2(1 + r)b
2
N
,
et par un calcul similaire, on obtient également
log L(y | x) ≥ −
2(1 + r)b
2
N
.
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