- Avec probabilité 1 − r, est hérité d’un seul parent choisi uniformément au hasard dans
la génération précédente.
Ainsi, bien que chaque individu ait physiquement deux parents, pour la portion du génôme
qui nous intéresse, un seul de ses parents peut transmettre l’intégralité de ses gènes. Pour
simplifier la terminologie, nous dirons alors que cet individu n’a qu’un seul parent (génétique). Remarquons que si r = 1, les relations de parenté physique et génétique coïncident
et dans ce cas, le modèle nous donne le pédigré (l’arbre généalogique) complet des individus choisis. Nous pouvons ensuite construire les relations parentales/généalogiques pour
r < 1 en supprimant des liens quand il n’y a pas de recombinaison. L’arbre généalogique
pour r < 1 est donc naturellement inclus dans un arbre avec r
= 1 .
Remarquons également que quand N est grand, choisir une paire d’individus au hasard
(les 2 parents) revient à un tirage avec replacement de deux individus (car la loi hypergéométrique est dans ce cas très proche d’une loi binomiale).
Considérons un individu i ∈ {1, · · · , N} fixé, appartenant à la génération 0. Nous souhaitons connaître la loi du processus qui décrit la dynamique de la taille de la population
issue de cet individu au cours du temps.
Nous définissons G
i
n , le nombre de descendants de l’individu i à la génération n.
Proposition 7.6.2 Soit i ∈ {1, · · · , N} . Le processus (G
i
n ) n est une chaîne de Markov telle que, conditionnellement à G
i
n , la variable aléatoire G
i
n+1 a une loi binomiale
B(N, (1 + r)
G i
n
N
− r(
G i
n
N
)
2 ).
De plus, si B
i
n désigne le nombre d’individus qui ne sont pas descendants de i, alors le
processus (B
i
n ) n est une chaîne de Markov telle que, conditionnellement à B
i
n , la variable
aléatoire B
i
n+1 a une loi binomiale B(N, (1 − r)
B i
n
N
+ r(
B i
n
N
)
2 ).
Preuve. Fixons un individu de la génération n + 1 et calculons la probabilité qu’il soit
issu de l’individu i. Notons par R l’événement “Il y a eu recombinaison pour donner cet
individu, de la génération n à la génération n + 1”. La probabilité vaut
(1 − r) P(parent issu de i | R
C ) + r P(un des deux parents issu de i | R)
= (1 − r)
G
i
n
N
+ r
1 −
1 −
G
i
n
N
2
= (1 + r)
G
i
n
N
− r
G
i
n
N
2
.
La deuxième assertion découle immédiatement de la première.
Dorénavant, nous fixons un individu i ∈ {1, · · · , N} et considérons uniquement la descendance de cet individu. Notons G n la taille de la population issue de i au temps n.
Nous avons G 0 = 1 .
258
CHAPITRE 7. QUELQUES DÉVELOPPEMENTS MODERNES ...
la génération précédente.
Ainsi, bien que chaque individu ait physiquement deux parents, pour la portion du génôme
qui nous intéresse, un seul de ses parents peut transmettre l’intégralité de ses gènes. Pour
simplifier la terminologie, nous dirons alors que cet individu n’a qu’un seul parent (génétique). Remarquons que si r = 1, les relations de parenté physique et génétique coïncident
et dans ce cas, le modèle nous donne le pédigré (l’arbre généalogique) complet des individus choisis. Nous pouvons ensuite construire les relations parentales/généalogiques pour
r < 1 en supprimant des liens quand il n’y a pas de recombinaison. L’arbre généalogique
pour r < 1 est donc naturellement inclus dans un arbre avec r
= 1 .
Remarquons également que quand N est grand, choisir une paire d’individus au hasard
(les 2 parents) revient à un tirage avec replacement de deux individus (car la loi hypergéométrique est dans ce cas très proche d’une loi binomiale).
Considérons un individu i ∈ {1, · · · , N} fixé, appartenant à la génération 0. Nous souhaitons connaître la loi du processus qui décrit la dynamique de la taille de la population
issue de cet individu au cours du temps.
Nous définissons G
i
n , le nombre de descendants de l’individu i à la génération n.
Proposition 7.6.2 Soit i ∈ {1, · · · , N} . Le processus (G
i
n ) n est une chaîne de Markov telle que, conditionnellement à G
i
n , la variable aléatoire G
i
n+1 a une loi binomiale
B(N, (1 + r)
G i
n
N
− r(
G i
n
N
)
2 ).
De plus, si B
i
n désigne le nombre d’individus qui ne sont pas descendants de i, alors le
processus (B
i
n ) n est une chaîne de Markov telle que, conditionnellement à B
i
n , la variable
aléatoire B
i
n+1 a une loi binomiale B(N, (1 − r)
B i
n
N
+ r(
B i
n
N
)
2 ).
Preuve. Fixons un individu de la génération n + 1 et calculons la probabilité qu’il soit
issu de l’individu i. Notons par R l’événement “Il y a eu recombinaison pour donner cet
individu, de la génération n à la génération n + 1”. La probabilité vaut
(1 − r) P(parent issu de i | R
C ) + r P(un des deux parents issu de i | R)
= (1 − r)
G
i
n
N
+ r
1 −
1 −
G
i
n
N
2
= (1 + r)
G
i
n
N
− r
G
i
n
N
2
.
La deuxième assertion découle immédiatement de la première.
Dorénavant, nous fixons un individu i ∈ {1, · · · , N} et considérons uniquement la descendance de cet individu. Notons G n la taille de la population issue de i au temps n.
Nous avons G 0 = 1 .
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CHAPITRE 7. QUELQUES DÉVELOPPEMENTS MODERNES ...