7.6. ARBRES GÉNÉALOGIQUES DE POPULATIONS SEXUÉES
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temps pour que des mutations apparaissent et différencient les individus. La comparaison
des arbres généalogiques va ainsi donner des indications sur l’héritage génétique.
Rappelons tout d’abord qu’au Chapitre 6, nous avons introduit le modèle simple de
Wright-Fisher, et étudié sa généalogie. Soit τ 2 le nombre minimal de générations à remonter pour trouver le premier ancêtre commun de deux individus choisis au hasard dans
une population de taille N .
Proposition 7.6.1 La variable aléatoire τ 2 a une loi géométrique de paramètre
1
N
.
Preuve. En utilisant la définition du modèle de Wright-Fisher, nous avons immédiatement
que P(τ 2 = 1) =
N
i=1
1
N 2 =
1
N
. De plus, par un raisonnement identique à celui de la preuve
de la Proposition 6.2.7 développée dans la Remarque 6.2.9, pour tout k ∈ N
∗ ,
P(τ 2 = k) =
1 −
1
N
k−1 1
N
.
En particulier, E(τ 2 ) = N . Comme la population est a priori de grande taille, deux
individus ont besoin de remonter très loin dans le temps pour trouver un ancêtre commun.
Nous avons vu de plus à la Proposition 6.2.10 que le temps moyen de fixation d’un allèle
est également de l’ordre de N générations.
7.6.1 Modèle de Wright-Fisher diploïde avec recombinaison.
Le modèle de Wright-Fisher est très utilisé par les biologistes, mais néanmoins il suppose que la portion d’ADN considérée provient des gènes d’un seul parent. Or chez les
populations sexuées, le processus de recombinaison qui a lieu pendant la reproduction
permet à un individu d’hériter d’une mosaïque de gènes parentaux. Pour comprendre
l’origine de l’information génétique d’un individu fixé, il faut reconstruire la généalogie
de ses 2 parents s’il y a eu recombinaison ou seulement du seul parent dont il a hérité ses
gènes dans le cas contraire. Nous allons donc définir un processus de Wright-Fisher avec
recombinaison.
Nous supposons ici que chaque individu a 2 parents dont il hérite son patrimoine génétique.
La population est de taille fixée N et la probabilité de recombinaison est fixée, égale à
r ∈ [0, 1]. A chaque génération, le patrimoine génétique d’un individu, indépendamment
des autres,
- Avec probabilité r, est hérité de 2 parents choisis uniformément au hasard dans la
génération précédente.
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temps pour que des mutations apparaissent et différencient les individus. La comparaison
des arbres généalogiques va ainsi donner des indications sur l’héritage génétique.
Rappelons tout d’abord qu’au Chapitre 6, nous avons introduit le modèle simple de
Wright-Fisher, et étudié sa généalogie. Soit τ 2 le nombre minimal de générations à remonter pour trouver le premier ancêtre commun de deux individus choisis au hasard dans
une population de taille N .
Proposition 7.6.1 La variable aléatoire τ 2 a une loi géométrique de paramètre
1
N
.
Preuve. En utilisant la définition du modèle de Wright-Fisher, nous avons immédiatement
que P(τ 2 = 1) =
N
i=1
1
N 2 =
1
N
. De plus, par un raisonnement identique à celui de la preuve
de la Proposition 6.2.7 développée dans la Remarque 6.2.9, pour tout k ∈ N
∗ ,
P(τ 2 = k) =
1 −
1
N
k−1 1
N
.
En particulier, E(τ 2 ) = N . Comme la population est a priori de grande taille, deux
individus ont besoin de remonter très loin dans le temps pour trouver un ancêtre commun.
Nous avons vu de plus à la Proposition 6.2.10 que le temps moyen de fixation d’un allèle
est également de l’ordre de N générations.
7.6.1 Modèle de Wright-Fisher diploïde avec recombinaison.
Le modèle de Wright-Fisher est très utilisé par les biologistes, mais néanmoins il suppose que la portion d’ADN considérée provient des gènes d’un seul parent. Or chez les
populations sexuées, le processus de recombinaison qui a lieu pendant la reproduction
permet à un individu d’hériter d’une mosaïque de gènes parentaux. Pour comprendre
l’origine de l’information génétique d’un individu fixé, il faut reconstruire la généalogie
de ses 2 parents s’il y a eu recombinaison ou seulement du seul parent dont il a hérité ses
gènes dans le cas contraire. Nous allons donc définir un processus de Wright-Fisher avec
recombinaison.
Nous supposons ici que chaque individu a 2 parents dont il hérite son patrimoine génétique.
La population est de taille fixée N et la probabilité de recombinaison est fixée, égale à
r ∈ [0, 1]. A chaque génération, le patrimoine génétique d’un individu, indépendamment
des autres,
- Avec probabilité r, est hérité de 2 parents choisis uniformément au hasard dans la
génération précédente.
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