7.6. ARBRES GÉNÉALOGIQUES DE POPULATIONS SEXUÉES
2 3
(Y n ) n de loi de reproduction P(1 + r). Comme l’espérance de la loi de reproduction vaut
1 + r, le processus (Y n ) n est surcritique, et par le Théorème 3.2.10, nous savons que le
processus (
Yn
(1+r) n ) n est une martingale positive M ∞ et converge presque-sûrement vers
une variable aléatoire strictement positive sur l’ensemble de persistance du processus. De
plus, si nous notons ρ la probabilité d’extinction de ce processus, alors
P(M ∞ = 0) = ρ < 1.
Nous avons
P(τ
Y
b N
> m N ) ≤ P(Y m N ≤ b N ) = P(M m N ≤ b N (1 + r)
−m N ).
En utilisant le lemme de Fatou et le fait que par hypothèse, b N (1 + r)
−m N tend vers 0
quand N → ∞, on a
lim sup
N
P(τ
Y
b N
> m N ) ≤ lim sup
N
P(M m N ≤ b N (1 + r)
−m N )
≤ P(lim sup
N
M m N ≤ b N (1 + r)
−m N )
= P(M m N ≤ b N (1 + r)
−m N infiniment souvent)
≤ P(M ∞ = 0) = ρ < 1.
Par le Lemme 7.6.3, P(τ
G
b N
> m N ) = P(τ
Y
b N
> m N )(1 + o(1)) quand N → ∞. Nous en
déduisons que
lim sup
N
P(τ
G
b N
> m N ) ≤ ρ < 1,
et donc lim inf N P(τ
G
b N
≤ m N ) ≥ 1 − ρ > 0.
Ainsi, si toutes les m N générations, nous testons si l’individu étiqueté 1 a au moins
(log N )
2 descendants m N générations plus tard, nous obtenons une suite de type géométrique avec probabilité de succès en un nombre fini d’étapes égale à 1. En particulier,
cela entraîne que la probabilité de n’avoir aucun individu de la génération 0 ayant au
moins (log N )
2 descendants après (log log N ) m N = o(log N ) générations est majorée
par (1 − ρ + δ)
log log N quand N → ∞, pour tout δ ∈ (0, ρ). Cela donne
lim
N →∞
P
τ
(G1)
N
>
3
log(1 + r)
(log log N )
2
= 0.
Ce raisonnement s’adapte également pour prouver l’étape 6.
6