7.5. MODÉLISATION D’UNE POPULATION DIPLOÏDE
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Proposition 7.5.4 (1) Le processus (Y
K
t , t ≥ 0) est une variable rapide qui converge vers
0 quand K tend vers l’infini, au sens où pour tous t, s > 0, sup t≤u≤t+s E((Y
K
u )
2 ) → K→∞ 0.
(2) Le couple (N
K
t , X
K
t ) t≥0 converge en loi vers le processus (N, X) solution du système
différentiel stochastique
dN t =
2γN t dB
1
t + N t (b − d − cN t ) dt;
dX t =
γX t (1 − X t )
N t
dB
2
t ,
où B
1 et B
2 sont des mouvements browniens indépendants.
Nous pouvons remarquer que le processus (N t , t ≥ 0) tend vers 0 quand t tend vers l’infini
comme nous l’avons vu au Chapitre 4.7.2.. Le système d’équations est bien défini jusqu’au
temps d’arrêt inf{t ≥ 0, N t = ε}, pour tout ε > 0.
Remarque 7.5.5 L’équation satisfaite par le processus X est une généralisation de
l’équation de diffusion de Wright-Fisher obtenue au Chapitre 6, dans le cas où la taille
de la population est variable et la population est diploïde. Un modèle bi-type haploïde,
avec deux allèles A et a mais sans ségrégation à la naissance, conduirait au même type
d’équations pour la taille et la proportion d’allèle A, mais avec γ changé en 2γ dans l’équation de X. Ce simple terme peut changer certains comportements, comme par exemple le
comportement quasi-stationnaire du processus. (Voir [28]).
Preuve. La preuve du point (2) repose sur un argument de tension-identification et unicité
de la limite, comme nous l’avons vu au Chapitre 5. Nous allons ici uniquement calculer le
générateur du processus (N
K
t , X
K
t , Y
K
t ) t≥0 , ce qui nous permettra de comprendre la forme
de la limite.
Soit f une fonction de R
3 dans R et L
K le générateur du processus (
Z K
t
K
) t . Posons comme
précédemment φ(z) = (n, x, y) et soient e 1 , e 2 , e 3 les vecteurs unités. Le générateur se
décompose comme suit (en remarquant par exemple que y = z 1 − nx
2 ) :
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Proposition 7.5.4 (1) Le processus (Y
K
t , t ≥ 0) est une variable rapide qui converge vers
0 quand K tend vers l’infini, au sens où pour tous t, s > 0, sup t≤u≤t+s E((Y
K
u )
2 ) → K→∞ 0.
(2) Le couple (N
K
t , X
K
t ) t≥0 converge en loi vers le processus (N, X) solution du système
différentiel stochastique
dN t =
2γN t dB
1
t + N t (b − d − cN t ) dt;
dX t =
γX t (1 − X t )
N t
dB
2
t ,
où B
1 et B
2 sont des mouvements browniens indépendants.
Nous pouvons remarquer que le processus (N t , t ≥ 0) tend vers 0 quand t tend vers l’infini
comme nous l’avons vu au Chapitre 4.7.2.. Le système d’équations est bien défini jusqu’au
temps d’arrêt inf{t ≥ 0, N t = ε}, pour tout ε > 0.
Remarque 7.5.5 L’équation satisfaite par le processus X est une généralisation de
l’équation de diffusion de Wright-Fisher obtenue au Chapitre 6, dans le cas où la taille
de la population est variable et la population est diploïde. Un modèle bi-type haploïde,
avec deux allèles A et a mais sans ségrégation à la naissance, conduirait au même type
d’équations pour la taille et la proportion d’allèle A, mais avec γ changé en 2γ dans l’équation de X. Ce simple terme peut changer certains comportements, comme par exemple le
comportement quasi-stationnaire du processus. (Voir [28]).
Preuve. La preuve du point (2) repose sur un argument de tension-identification et unicité
de la limite, comme nous l’avons vu au Chapitre 5. Nous allons ici uniquement calculer le
générateur du processus (N
K
t , X
K
t , Y
K
t ) t≥0 , ce qui nous permettra de comprendre la forme
de la limite.
Soit f une fonction de R
3 dans R et L
K le générateur du processus (
Z K
t
K
) t . Posons comme
précédemment φ(z) = (n, x, y) et soient e 1 , e 2 , e 3 les vecteurs unités. Le générateur se
décompose comme suit (en remarquant par exemple que y = z 1 − nx
2 ) :
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