7.5. MODÉLISATION D’UNE POPULATION DIPLOÏDE
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avec pour z = (z 1 , z 2 , z 3 ),
˜ b 1 (z) = b
(z 1 +
1
2
z 2 )
2
z 1 + z 2 + z 3
; b 2 (z) = 2b
(z 1 +
1
2
z 2 )(z 3 +
1
2
z 2 )
z 1 + z 2 + z 3
; b 3 (z) = b
(z 3 +
1
2
z 2 )
2
z 1 + z 2 + z 3
,
˜
d 1 (z) = (d 1 + c 11 z 1 + c 12 z 2 + c 13 z 3 ) z 1 ,
et une expression similaire pour les autres termes.
On peut montrer que le champ de vecteurs ψ a deux points fixes (z
∗
1 , 0, 0) et (0, 0, z
∗
3 ) où
z
∗
1 =
b − d 1
c 11
,
et
z
∗
3 =
b − d 3
c 33
.
Ces points correspondent aux populations homozygotes.
Supposons que pour tous i ∈ {1, 2, 3}, d i = d et que pour tous i, j, c ij = c. Une solution du système ne s’obtient pas facilement, même dans ce cas simple. Pour résoudre
le système, nous introduisons un changement de variables φ lié aux quantités d’intérêt : la taille de la population, la proportion d’allèle A et une distance à l’équilibre de
Hardy-Weinberg (distance à l’indépendance). Posons pour tout z ∈ (R + )
3
\{(0, 0, 0},
φ(z) = (φ 1 (z), φ 2 (z), φ 3 (z)) avec
φ 1 (z) = z 1 + z 2 + z 3 ; φ 2 (z) =
2z 1 + z 2
2(z 1 + z 2 + z 3 )
; φ 3 (z) =
4z 1 z 3 − (z 2 )
2
4(z 1 + z 2 + z 3 )
.
Nous pouvons remarquer que
φ 3 (z) = φ 1 (z)(p
AA − (p
A )
2 ) = φ 1 (z)(p
aa − (p
a )
2 ).
Posons φ(z 1 (t), z 2 (t), z 3 (t)) = (N t , X t , Y t ) et faisons le changement de variables dans
(7.5.16). Nous obtenons
d
dt
⎛
⎝
N t
X t
Y t
⎞
⎠ =
⎛
⎝
(b − d − cN t )N t
0
−(d + cN t )Y t
⎞
⎠ .
(7.5.18)
Nous pouvons résoudre explicitement ce système en remarquant que la première équation
est l’équation logistique que nous avons déjà rencontrée au Chapitre 5. La preuve de la
proposition suivante est élémentaire et est laissée au lecteur. Pour tout t ≥ 0,
Proposition 7.5.3 (i) Si b = d, alors N t =
N 0
c N 0 t + 1
. Sinon,
N t =
(b − d)N 0 e
(b−d)t
(b − d) + cN 0 (e (b−d)t − 1)
.
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