(Les calculs plus précis sont laissés au lecteur). Un résultat similaire est vrai si N = 1.
Nous pouvons alors appliquer le théorème d’arrêt à la martingale p a (Z ) puisqu’elle est
trivialement bornée et au temps d’arrêt T = T a ∧ T A . Nous en déduisons que
E (k1,k2,k3) (p a (Z T )) = E (k1,k2,k3) (p a (Z 0 )) =
k 2 + 2k 3
2(k 1 + k 2 + k 3 )
.
Par ailleurs,
E (k1,k2,k3) (p a (Z T )) = E (k1,k2,k3) (T a < T A ) + E (k1,k2,k3) (p a (Z T ) T =∞ ).
Puisque p A (Z ) = 1 − p a (Z ), nous pouvons par un raisonnement similaire obtenir que
E (k1,k2,k3) (p A (Z T )) = E (k1,k2,k3) (T A < T a ) + E (k1,k2,k3) (p A (Z T ) T =∞ ) =
k 2 + 2k 1
2(k 1 + k 2 + k 3 )
.
En ajoutant ces expressions, nous obtenons que T < +∞ presque-sûrement et nous en
déduisons la valeur des probabilités de fixation.
7.5.2 Approximations en grande population
Approximation déterministe
Comme au Chapitre 5, nous pouvons nous intéresser à une approximation en grande
population du processus tri-dimensionnel Z, en introduisant un paramètre de ressource
K qui va tendre vers l’infini. Nous supposons de plus (comme au Chapitre 5) que les
paramètres de compétition sont de la forme c ij /K.
Notons Z
K le processus et supposons que Z
K
0 /K converge vers un vecteur déterministe
(z 1 (0), z 2 (0), z 3 (0)). Alors en adaptant la preuve du théorème 5.6.1, nous pouvons prouver
que
Proposition 7.5.2 Le processus
Z
K
t
K
, t ≥ 0
converge en loi, quand K tend vers l’infini,
vers la solution (z 1 (t), z 2 (t), z 3 (t)) de
d
dt
⎛
⎝
z 1 (t)
z 2 (t)
z 3 (t)
⎞
⎠ = ψ
z 1 (t), z 2 (t), z 3 (t)
,
(7.5.16)
où
ψ(z 1 , z 2 , z 3 ) =
⎛
⎝
˜ b 1 (z 1 , z 2 , z 3 ) − ˜
d 1 (z 1 , z 2 , z 3 )
˜ b 2 (z 1 , z 2 , z 3 ) − ˜
d 2 (z 1 , z 2 , z 3 )
˜ b 3 (z 1 , z 2 , z 3 ) − ˜
d 3 (z 1 , z 2 , z 3 )
⎞
⎠ ,
(7.5.17)
252
CHAPITRE 7. QUELQUES DÉVELOPPEMENTS MODERNES ...