7.5. MODÉLISATION D’UNE POPULATION DIPLOÏDE
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Grâce à (7.5.12) et (7.5.14), nous voyons que le processus (N t = k 1 (t) + k 2 (t) + k 3 (t), t ≥
0) donnant la taille de la population au temps t, est stochastiquement dominé par un
processus de naissance et mort (Y t , t ≥ 0) de taux de naissance by et de taux de mort
c y
2 , si Y t = y. Cette domination s’exprime par le fait que nous pouvons construire les deux
processus sur le même espace de probabilité et qu’alors, pour tout t ≥ 0, N t est presquesûrement inférieur à Y t . Le processus N va donc s’éteindre presque-sûrement comme Y ,
en vertu du Theorème 5.5.5 appliqué au processus de naissance et mort logistique.
Fixation de l’un des allèles dans le cas neutre
Supposons que les paramètres d i soient égaux à d et que les paramètres c ij soient tous
égaux à c. Nous voulons éviter l’extinction du processus pour pouvoir observer la fixation
éventuelle de l’un des allèles. Pour ce faire nous allons supposer que s’il ne reste qu’un
individu dans la population, il ne peut pas mourir, en imposant que
d i (z) = 0 si k 1 + k 2 + k 3 = 1.
(7.5.15)
Le processus N prend alors ses valeurs dans N
∗ .
Proposition 7.5.1 Plaçons-nous dans le cas neutre et sous l’hypothèse supplémentaire
(7.5.15). Alors, si le processus est issu de (k 1 , k 2 , k 3 ), la probabilité de fixation de a vaut
u(k 1 , k 2 , k 3 ) =
k 2 + 2k 3
2(k 1 + k 2 + k 3 )
,
qui est la proportion initiale d’allèles a.
Preuve. Notons par (F t , t ≥ 0) la filtration du processus Z. Nous introduisons le temps
d’arrêt
T a = inf{t ≥ 0, Z t ∈ {0} × {0} × N
∗ },
qui est le temps de fixation de l’allèle a. Soit p a (z) la proportion d’allèle a dans la population z : p a (k 1 , k 2 , k 3 ) =
k 2 + 2k 3
2(k 1 + k 2 + k 3 )
.
Nous allons considérer la chaîne de Markov incluse au processus Z, à savoir la chaîne
Z , qui saute à chaque temps de saut de Z. Le suite p a (Z ) représente donc la suite des
proportions successives de a dans la population. Nous allons prouver que si T est le -ième
temps de saut de Z et si
F = F T , alors p a (Z ) est une
F -martingale bornée. En effet,
si N désigne la taille de Z , et pour N ≥ 2,
E(p a (Z +1 |
F ) =
2N p a (Z ) − 2
2N − 2
P(mort de aa) +
2N p a (Z ) − 1
2N − 2
P(mort de Aa)
+
2N p a (Z )
2N − 2
P(mort de AA) +
2N p a (Z ) + 2
2N + 2
P(naissance de aa)
+
2N p a (Z ) + 1
2N + 2
P(naissance de Aa) +
2N p a (Z )
2N + 2
P(naissance de AA)
= p a (Z ).
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Grâce à (7.5.12) et (7.5.14), nous voyons que le processus (N t = k 1 (t) + k 2 (t) + k 3 (t), t ≥
0) donnant la taille de la population au temps t, est stochastiquement dominé par un
processus de naissance et mort (Y t , t ≥ 0) de taux de naissance by et de taux de mort
c y
2 , si Y t = y. Cette domination s’exprime par le fait que nous pouvons construire les deux
processus sur le même espace de probabilité et qu’alors, pour tout t ≥ 0, N t est presquesûrement inférieur à Y t . Le processus N va donc s’éteindre presque-sûrement comme Y ,
en vertu du Theorème 5.5.5 appliqué au processus de naissance et mort logistique.
Fixation de l’un des allèles dans le cas neutre
Supposons que les paramètres d i soient égaux à d et que les paramètres c ij soient tous
égaux à c. Nous voulons éviter l’extinction du processus pour pouvoir observer la fixation
éventuelle de l’un des allèles. Pour ce faire nous allons supposer que s’il ne reste qu’un
individu dans la population, il ne peut pas mourir, en imposant que
d i (z) = 0 si k 1 + k 2 + k 3 = 1.
(7.5.15)
Le processus N prend alors ses valeurs dans N
∗ .
Proposition 7.5.1 Plaçons-nous dans le cas neutre et sous l’hypothèse supplémentaire
(7.5.15). Alors, si le processus est issu de (k 1 , k 2 , k 3 ), la probabilité de fixation de a vaut
u(k 1 , k 2 , k 3 ) =
k 2 + 2k 3
2(k 1 + k 2 + k 3 )
,
qui est la proportion initiale d’allèles a.
Preuve. Notons par (F t , t ≥ 0) la filtration du processus Z. Nous introduisons le temps
d’arrêt
T a = inf{t ≥ 0, Z t ∈ {0} × {0} × N
∗ },
qui est le temps de fixation de l’allèle a. Soit p a (z) la proportion d’allèle a dans la population z : p a (k 1 , k 2 , k 3 ) =
k 2 + 2k 3
2(k 1 + k 2 + k 3 )
.
Nous allons considérer la chaîne de Markov incluse au processus Z, à savoir la chaîne
Z , qui saute à chaque temps de saut de Z. Le suite p a (Z ) représente donc la suite des
proportions successives de a dans la population. Nous allons prouver que si T est le -ième
temps de saut de Z et si
F = F T , alors p a (Z ) est une
F -martingale bornée. En effet,
si N désigne la taille de Z , et pour N ≥ 2,
E(p a (Z +1 |
F ) =
2N p a (Z ) − 2
2N − 2
P(mort de aa) +
2N p a (Z ) − 1
2N − 2
P(mort de Aa)
+
2N p a (Z )
2N − 2
P(mort de AA) +
2N p a (Z ) + 2
2N + 2
P(naissance de aa)
+
2N p a (Z ) + 1
2N + 2
P(naissance de Aa) +
2N p a (Z )
2N + 2
P(naissance de AA)
= p a (Z ).
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