Chaque individu se reproduit au taux b > 0 qui ne dépend pas du génotype de l’individu.
Dans ce cas, l’individu choisit un partenaire de reproduction uniformément au hasard
parmi les autres individus de la population.
Le processus (Z t , t ≥ 0) est un processus de naissance et mort dont les taux de naissance
d’individus de type AA, resp. Aa, aa, sont donnés, en vertu des lois mendéliennes et pour
z = (k 1 , k 2 , k 3 ) et N = k 1 + k 2 + k 3 , par :
b 1 (z) = b
k 1 +
1
2
k 2
p A =
b
N
k 1 +
1
2
k 2
2
;
b 2 (z) = b
k 1 +
1
2
k 2
(1 − p A ) + b
k 3 +
1
2
k 2
p A = 2
b
N
k 1 +
1
2
k 2
k 3 +
1
2
k 2
;
b 3 (z) = b
k 3 +
1
2
k 2
(1 − p A ) =
b
N
횿
k 3 +
1
2
k 2
2
.
En effet, détaillons par exemple le cas de b 1 (z). Le taux total de reproduction est bN .
Comme chaque individu choisit un partenaire uniformément au hasard, la probabilité
d’obtenir le type AA dans la reproduction sera donnée par
k
2
1
N 2 +
1
2
2k 1 k 2
N 2
+
1
4
k
2
2
N 2 ,
suivant que les parents ont les types AA, AA ou AA, Aa ou Aa, Aa.
Remarquons que
b 1 (z) + b 2 (z) + b 3 (z) = b (k 1 + k 2 + k 3 ).
(7.5.12)
Les taux de mort des individus de génotype AA, Aa et aa sont donnés par
d 1 (z) = k 1
d 1 + (c 11 k 1 + c 12 k 2 + c 13 k 3 )
;
d 2 (z) = k 2
횿
d 2 + (c 21 k 1 + c 22 k 2 + c 23 k 3 )
;
d 1 (z) = k 3
d 3 + (c 31 k 1 + c 32 k 2 + c 33 k 3 )
,
où d 1 , d 2 , d 3 représentent les taux de mort intrinsèques des différents types et les paramètres c ij , pour i, j ∈ {1, 2, 3}, représentent les paramètres de compétition entre les
individus des différents types. On suppose que
c = inf
i,j∈{1,2,3}
c ij > 0.
(7.5.13)
Nous avons alors que
d 1 (z) + d 2 (z) + d 3 (z) ≥ c (k 1 + k 2 + k 3 )
2 .
(7.5.14)
Extinction
250
CHAPITRE 7. QUELQUES DÉVELOPPEMENTS MODERNES ...