7.5. MODÉLISATION D’UNE POPULATION DIPLOÏDE
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naissance r et de taux de mort d. La probabilité d’extinction de ce processus a été étudiée
au Chapitre 5.4.5. Dans le cas où r ≤ d, le processus (
N t ) t s’éteint presque sûrement
et il en est donc de même pour le processus ((N
Aa
t , N
aa
t ), t ≥ 0). Dans le cas où r > d,
le processus (
N t ) t s’éteint avec probabilité
d
r
i+j , car (i, j) est la condition initiale de
(N
Aa
t , N
aa
t ) t et donc de (
N
Aa
t ,
N
aa
t ) t . La propriété de domination entraîne alors que
d
r
i+j ≤ p i,j .
La majoration de p i,j est plus subtile et nous envoyons le lecteur à [7] pour la preuve.
7.5 Modélisation d’une population diploïde
Cette étude fait partie de travaux de recherche sur la modélisation aléatoire de la dynamique des populations diploïdes et est issu des articles de Coron [27], Collet-Méléard-Metz
[24] et Coron [28].
Dans le paragraphe précédent comme dans les Chapitres 5 et 6, nous avons supposé que
les populations ont une reproduction haploïde, au sens où nous ne prenons pas en compte
les règles de ségrégation (appelées lois de Mendel ), de la reproduction diploïde. Dans
ce paragraphe, nous allons proposer et étudier un modèle de processus de naissance et
mort multi-type décrivant la dynamique d’une population diploïde avec compétition et
reproduction mendélienne.
7.5.1 Le processus de naissance et mort multitype
Nous considérons une population d’organismes diploïdes hermaphrodites (comme une
grande partie des plantes), caractérisés par leur génotype composé de deux filaments
d’ADN. Nous supposons ici que les individus ne diffèrent que par un gène qui peut porter
seulement deux allèles : A et a. Ainsi les 3 génotypes possibles sont AA, Aa et aa. La
dynamique de la population est alors représentée par le processus de Markov
Z : t −→ Z t = (k 1 (t), k 2 (t), k 3 (t)),
qui donne respectivement le nombre d’individus de génotype AA, Aa et aa au temps t.
Pour plus de simplicité, nous allons noter ces types 1, 2 et 3.
La proportion d’allèle A est alors donnée par la formule
p A (t) =
2k 1 (t) + k 2 (t)
2(k 1 (t) + k 2 (t) + k 3 (t))
.
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naissance r et de taux de mort d. La probabilité d’extinction de ce processus a été étudiée
au Chapitre 5.4.5. Dans le cas où r ≤ d, le processus (
N t ) t s’éteint presque sûrement
et il en est donc de même pour le processus ((N
Aa
t , N
aa
t ), t ≥ 0). Dans le cas où r > d,
le processus (
N t ) t s’éteint avec probabilité
d
r
i+j , car (i, j) est la condition initiale de
(N
Aa
t , N
aa
t ) t et donc de (
N
Aa
t ,
N
aa
t ) t . La propriété de domination entraîne alors que
d
r
i+j ≤ p i,j .
La majoration de p i,j est plus subtile et nous envoyons le lecteur à [7] pour la preuve.
7.5 Modélisation d’une population diploïde
Cette étude fait partie de travaux de recherche sur la modélisation aléatoire de la dynamique des populations diploïdes et est issu des articles de Coron [27], Collet-Méléard-Metz
[24] et Coron [28].
Dans le paragraphe précédent comme dans les Chapitres 5 et 6, nous avons supposé que
les populations ont une reproduction haploïde, au sens où nous ne prenons pas en compte
les règles de ségrégation (appelées lois de Mendel ), de la reproduction diploïde. Dans
ce paragraphe, nous allons proposer et étudier un modèle de processus de naissance et
mort multi-type décrivant la dynamique d’une population diploïde avec compétition et
reproduction mendélienne.
7.5.1 Le processus de naissance et mort multitype
Nous considérons une population d’organismes diploïdes hermaphrodites (comme une
grande partie des plantes), caractérisés par leur génotype composé de deux filaments
d’ADN. Nous supposons ici que les individus ne diffèrent que par un gène qui peut porter
seulement deux allèles : A et a. Ainsi les 3 génotypes possibles sont AA, Aa et aa. La
dynamique de la population est alors représentée par le processus de Markov
Z : t −→ Z t = (k 1 (t), k 2 (t), k 3 (t)),
qui donne respectivement le nombre d’individus de génotype AA, Aa et aa au temps t.
Pour plus de simplicité, nous allons noter ces types 1, 2 et 3.
La proportion d’allèle A est alors donnée par la formule
p A (t) =
2k 1 (t) + k 2 (t)
2(k 1 (t) + k 2 (t) + k 3 (t))
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