Preuve de la Proposition 7.4.1.
Remarquons tout d’abord que la suite constante égale à 1 est solution de (7.4.9). Nous
pouvons facilement adapter (5.5.28) et (5.5.30) et montrer que la suite (p i,j ) (i,j)∈N 2 en est
également solution. Montrons qu’elle est en fait la plus petite solution positive bornée de
(7.4.9).
Soit f une autre solution positive et bornée. Il est facile de montrer que c’est équivalent à
Qf (i, j) = 0 pour tout (i, j), où Q a été défini en (7.4.8) et Qf en (5.3.6). Le Théorème
7.4.2 entraîne alors que (M t ) t = (f (N
Aa
t , N
aa
t )) t est une martingale, de même que (M t∧τ0 ) t
par la Proposition 4.5.16. De plus, M t∧τ0 converge sur τ 0 < +∞ vers f (N
Aa
τ0 , N
aa
τ0 ) = 1 en
vertu des conditions aux bords de (7.4.9). En utilisant la positivité de f et le Lemme de
Fatou, nous en déduisons que pour tout (i, j) ∈ N
2 ,
f (i, j) = E (i,j) (M 0 ) = lim
t→+∞
E (i,j) (M t∧τ0 )
≥ E (i,j) (lim inf
t→+∞
M t∧τ0 1 τ0<+∞ ) = E (i,j) (1 τ0<+∞ ) = p i,j .
Cette solution est malheureusement impossible à calculer avec les outils classiques. Dans
[7]-Prop.9 est donné un encadrement de ces probabilités, en utilisant des comparaisons
sophistiquées de processus stochastiques.
Proposition 7.4.4
• Si r ≤ d , p ij = 1 pour tout i, j.
• Si r > d, alors
d
r
i+j ≤ p ij ≤
d
r
i
+
d
r
j −
d
r
i+j
.
Preuve. Nous allons donner des éléments de preuve. L’idée de base est de comparer le
processus ((N
Aa
t , N
aa
t ), t ≥ 0) à des processus plus faciles à étudier.
Tout d’abord nous allons comparer le processus ((N
Aa
t , N
aa
t ), t ≥ 0) au processus
((
N
Aa
t ,
N
aa
t ), t ≥ 0) défini sur le même espace de probabilité, issu de la même condition
initiale (i, j) et dont le générateur est donné par le même système que (7.4.8), mais où la
valeur des taux de reproduction s’étend au cas où i ou j peut être nul. Comme les taux
de mort sont identiques, il est clair que ((
N
Aa
t ,
N
aa
t ), t ≥ 0) domine stochastiquement
((N
Aa
t , N
aa
t ), t ≥ 0), au sens où chacune des coordonnées domine la coordonnée correspondante. Le processus ((
N
Aa
t ,
N
aa
t ), t ≥ 0) est un processus de branchement bi-type dont
la dynamique peut-être décrite ainsi. Chaque individu vit durant un temps exponentiel
de paramètre r + d. A sa mort, il n’y a aucun descendant avec probabilité d/(r + d). Il
y a deux descendants du même type que l’ancêtre avec probabilité r/2(r + d) et deux
descendants portant les deux types différents avec probabilité r/2(r + d). En particulier,
le processus (
N t ) t = (
N
Aa
t
+
N
aa
t ) t est un processus de branchement binaire de taux de
248
CHAPITRE 7. QUELQUES DÉVELOPPEMENTS MODERNES ...
Remarquons tout d’abord que la suite constante égale à 1 est solution de (7.4.9). Nous
pouvons facilement adapter (5.5.28) et (5.5.30) et montrer que la suite (p i,j ) (i,j)∈N 2 en est
également solution. Montrons qu’elle est en fait la plus petite solution positive bornée de
(7.4.9).
Soit f une autre solution positive et bornée. Il est facile de montrer que c’est équivalent à
Qf (i, j) = 0 pour tout (i, j), où Q a été défini en (7.4.8) et Qf en (5.3.6). Le Théorème
7.4.2 entraîne alors que (M t ) t = (f (N
Aa
t , N
aa
t )) t est une martingale, de même que (M t∧τ0 ) t
par la Proposition 4.5.16. De plus, M t∧τ0 converge sur τ 0 < +∞ vers f (N
Aa
τ0 , N
aa
τ0 ) = 1 en
vertu des conditions aux bords de (7.4.9). En utilisant la positivité de f et le Lemme de
Fatou, nous en déduisons que pour tout (i, j) ∈ N
2 ,
f (i, j) = E (i,j) (M 0 ) = lim
t→+∞
E (i,j) (M t∧τ0 )
≥ E (i,j) (lim inf
t→+∞
M t∧τ0 1 τ0<+∞ ) = E (i,j) (1 τ0<+∞ ) = p i,j .
Cette solution est malheureusement impossible à calculer avec les outils classiques. Dans
[7]-Prop.9 est donné un encadrement de ces probabilités, en utilisant des comparaisons
sophistiquées de processus stochastiques.
Proposition 7.4.4
• Si r ≤ d , p ij = 1 pour tout i, j.
• Si r > d, alors
d
r
i+j ≤ p ij ≤
d
r
i
+
d
r
j −
d
r
i+j
.
Preuve. Nous allons donner des éléments de preuve. L’idée de base est de comparer le
processus ((N
Aa
t , N
aa
t ), t ≥ 0) à des processus plus faciles à étudier.
Tout d’abord nous allons comparer le processus ((N
Aa
t , N
aa
t ), t ≥ 0) au processus
((
N
Aa
t ,
N
aa
t ), t ≥ 0) défini sur le même espace de probabilité, issu de la même condition
initiale (i, j) et dont le générateur est donné par le même système que (7.4.8), mais où la
valeur des taux de reproduction s’étend au cas où i ou j peut être nul. Comme les taux
de mort sont identiques, il est clair que ((
N
Aa
t ,
N
aa
t ), t ≥ 0) domine stochastiquement
((N
Aa
t , N
aa
t ), t ≥ 0), au sens où chacune des coordonnées domine la coordonnée correspondante. Le processus ((
N
Aa
t ,
N
aa
t ), t ≥ 0) est un processus de branchement bi-type dont
la dynamique peut-être décrite ainsi. Chaque individu vit durant un temps exponentiel
de paramètre r + d. A sa mort, il n’y a aucun descendant avec probabilité d/(r + d). Il
y a deux descendants du même type que l’ancêtre avec probabilité r/2(r + d) et deux
descendants portant les deux types différents avec probabilité r/2(r + d). En particulier,
le processus (
N t ) t = (
N
Aa
t
+
N
aa
t ) t est un processus de branchement binaire de taux de
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CHAPITRE 7. QUELQUES DÉVELOPPEMENTS MODERNES ...