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Pour prouver cette proposition, nous allons utiliser un résultat très important en analyse
stochastique.
Théorème 7.4.2 Critère de Dynkin.
Soit (X t ) t , t ≥ 0) un processus markovien de saut à valeurs dans un espace dénombrable
E, de générateur infinitésimal Q. Soit F t = σ(X s , s ≤ t). Pour toute fonction continue
bornée sur E et telle que Qf est bornée,
f (X t ) − f (X 0 ) −
t
0
Qf (X u )du
(7.4.10)
est une F t -martingale continue à droite et limitée à gauche.
Preuve. Nous avons obtenu au Chapitre 5 les équations de Kolmogorov, en particulier la
formule de Kolmororov rétrograde (5.5.28) : pour tout x ∈ E,
P t f (x) − f (x) =
t
0
P u Qf (x)du.
Les fonctions f et Qf étant bornées, le Théorème de Fubini permet d’en déduire : pour
tout x ∈ E,
E x
f (X t ) − f (X 0 ) −
t
0
Qf (X u )du
= 0.
(7.4.11)
Montrons que M t = f (X t ) − f (X 0 ) −
t
0
Qf (X u )du définit une martingale. Pour tout
t > 0, M t est intégrable car f et Qf sont bornées. Soient t, s > 0. Utilisant la propriété
de Markov, nous pouvons écrire
E x (f (X t+s |F t ) = E Xt (f (X s )) ;
E x
t+s
t
Qf (X u )du| F t
= E x
s
0
Qf (X t+v )dv| F t
= E Xt
s
0
Qf (X v )dv
.
Finalement, nous avons
E x (M t+s − M t | F t ) = E Xt
f (X s ) − f (X 0 ) −
s
0
Qf (X v )dv
= 0,
par (7.4.11). Nous en déduisons que (M t , t ≥ 0) est une F t -martingale.
Remarque 7.4.3 Ce théorème a déjà été prouvé comme conséquence de la formule d’Itô
pour (X t , t ≥ 0) solution d’une équation différentielle stochastique et f de classe C
2
b .
4
7.4. UN MODÈLE STOCHASTIQUE POUR L’AUTO-INCOMPATIBILITÉ ...