Dans ce cas, elle se résume au fait que le taux de croissance intrinsèque (sans compétition)
de la population de type 2 est supérieur à celui de la population de type 1.
Sur l’événement de survie, la taille de la population d’individus de type 2 va atteindre
une taille suffisamment grande pour pouvoir être approchée par son approximation déterministe. Dans ce cas, il faut prendre en compte les deux sous-populations et leurs
interactions. Nous introduisons les paramètres de compétition c 22 entre deux individus
de type 2 et c 12 d’un individu de type 2 sur un individu de type 1. Nous avons vu au
Chapitre 5.6.3 que le système déterministe résumant la dynamique du système couplé des
deux sous-populations est un système de Lotka-Volterra compétitif
x
1 (t) = x 1 (t) (b 1 − d 1 − c 11 x 1 (t) − c 12 x 2 (t)),
x
2 (t) = x 2 (t) (b 2 − d 2 − c 21 x 1 (t) − c 22 x 2 (t)).
(7.3.7)
Une étude de ce système (voir Istas [41]) donne les deux conclusions possibles suivantes.
Si outre la condition (7.3.5), les paramètres démographiques vérifient également F 12 < 0,
alors l’équilibre atteint par le système (7.3.7) sera (0, x
∗
2 ). La population d’individus de
type 1 va s’éteindre et au bout d’un certain temps, il ne restera plus que des individus de
type 2. On dit que le type 2 s’est fixé dans la population.
Si en revanche F 12 > 0, l’équilibre atteint par le système sera un équilibre non trivial tel
que les deux coordonnées sont non nulles. Dans ce cas, nous aurons coexistence des types
1 et 2 en temps long. Appelons r i = b i − d i pour i = 1, 2. Remarquons que les conditions
F 12 > 0 et F 21 > 0 entraînent nécessairement que
(c 11 r 2 − c 21 r 1 )(c 22 r 1 − c 12 r 2 ) > 0
et nous pouvons remarquer qu’alors, D = c 11 c 22 − c 21 c 12 = 0. En effet, dans le cas
contraire, nous aurions
(c 11 r 2 − c 21 r 1 )(c 22 r 1 − c 12 r 2 ) = −
c 22 c 21
c 12
(r 1 − r 2
c 12
c 22
)
2 < 0.
Il est alors facile de calculer les tailles x
∗
12 et x
∗
21 des deux sous-populations de type 1 et
2 à l’équilibre :
x
∗
12 =
c 22 r 1 − r 2 c 12
D
; x
∗
21 =
c 11 r 2 − r 1 c 21
D
.
Puisque D = 0, le cas de coexistence est impossible si les coefficients de compétition
sont égaux (voir aussi (7.3.6)). Ainsi, l’impact de l’environnement, par exemple sur les
ressources, peut changer les équilibres.
7.4 Un modèle stochastique pour l’auto-incompatibilité
des plantes à fleurs
Ce travail est issu de Billiard, Tran [7] et Lafitte-Godillon, Raschel, Tran [52].
245
7.4. UN MODÈLE STOCHASTIQUE POUR L’AUTO-INCOMPATIBILITÉ ...
de la population de type 2 est supérieur à celui de la population de type 1.
Sur l’événement de survie, la taille de la population d’individus de type 2 va atteindre
une taille suffisamment grande pour pouvoir être approchée par son approximation déterministe. Dans ce cas, il faut prendre en compte les deux sous-populations et leurs
interactions. Nous introduisons les paramètres de compétition c 22 entre deux individus
de type 2 et c 12 d’un individu de type 2 sur un individu de type 1. Nous avons vu au
Chapitre 5.6.3 que le système déterministe résumant la dynamique du système couplé des
deux sous-populations est un système de Lotka-Volterra compétitif
x
1 (t) = x 1 (t) (b 1 − d 1 − c 11 x 1 (t) − c 12 x 2 (t)),
x
2 (t) = x 2 (t) (b 2 − d 2 − c 21 x 1 (t) − c 22 x 2 (t)).
(7.3.7)
Une étude de ce système (voir Istas [41]) donne les deux conclusions possibles suivantes.
Si outre la condition (7.3.5), les paramètres démographiques vérifient également F 12 < 0,
alors l’équilibre atteint par le système (7.3.7) sera (0, x
∗
2 ). La population d’individus de
type 1 va s’éteindre et au bout d’un certain temps, il ne restera plus que des individus de
type 2. On dit que le type 2 s’est fixé dans la population.
Si en revanche F 12 > 0, l’équilibre atteint par le système sera un équilibre non trivial tel
que les deux coordonnées sont non nulles. Dans ce cas, nous aurons coexistence des types
1 et 2 en temps long. Appelons r i = b i − d i pour i = 1, 2. Remarquons que les conditions
F 12 > 0 et F 21 > 0 entraînent nécessairement que
(c 11 r 2 − c 21 r 1 )(c 22 r 1 − c 12 r 2 ) > 0
et nous pouvons remarquer qu’alors, D = c 11 c 22 − c 21 c 12 = 0. En effet, dans le cas
contraire, nous aurions
(c 11 r 2 − c 21 r 1 )(c 22 r 1 − c 12 r 2 ) = −
c 22 c 21
c 12
(r 1 − r 2
c 12
c 22
)
2 < 0.
Il est alors facile de calculer les tailles x
∗
12 et x
∗
21 des deux sous-populations de type 1 et
2 à l’équilibre :
x
∗
12 =
c 22 r 1 − r 2 c 12
D
; x
∗
21 =
c 11 r 2 − r 1 c 21
D
.
Puisque D = 0, le cas de coexistence est impossible si les coefficients de compétition
sont égaux (voir aussi (7.3.6)). Ainsi, l’impact de l’environnement, par exemple sur les
ressources, peut changer les équilibres.
7.4 Un modèle stochastique pour l’auto-incompatibilité
des plantes à fleurs
Ce travail est issu de Billiard, Tran [7] et Lafitte-Godillon, Raschel, Tran [52].
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7.4. UN MODÈLE STOCHASTIQUE POUR L’AUTO-INCOMPATIBILITÉ ...