démographiques des individus de type 2 sont b 2 et d 2 , avec b 2 > d 2 . La population des
individus de type 2 est initialement de petite taille ; elle est donc modélisée par un processus de naissance et mort. Pendant un certain temps, la taille de cette population est
négligeable par rapport à celle des individus de type 1. Un individu de type 2 subit donc
essentiellement l’impact des individus de type 1 dans sa lutte pour la survie (partage des
ressources), et les individus de type 1 ne ressentent pas l’influence des individus de type
2. Nous introduisons le paramètre c 21 qui décrit la pression de compétition d’un individu
de type 1 sur un individu de type 2. Le taux de mort d’un individu de type 2 est donc
approché par
d 2 + c 21 x
∗
1 = d 2 + c 21
b 1 − d 1
c 11
.
Pour que les individus de type 2 puissent se fixer dans la population, il est nécessaire que
le processus de naissance et mort associé au type 2 survive en temps long. Au Chapitre 5,
(voir Théorème 5.5.5 et l’application au processus de branchement binaire avec un unique
ancêtre), nous avons obtenu les conditions d’une telle survie et dans le cas de survie
possible, nous avons calculé la probabilité de cet événement. En adaptant ces conditions,
nous en déduisons les résultats suivants.
• Si b 2 ≤ d 2 + c 21 x
∗
1 , la population d’individus de type 2 issue de l’individu mutant va
s’éteindre et la population redeviendra, si l’on attend suffisamment longtemps, une population de type 1. (Nous supposons dans cette interprétation que les mutations sont
rares et qu’une nouvelle mutation n’arrivera que bien après cette phase de développement et de disparition de la population de type 2).
• En revanche, si b 2 > d 2 + c 21 x
∗
1 , la population d’individus de type 2 se développe suivant
un processus surcritique et la probabilité de survie est non nulle, donnée par
b 2 − d 2 − c 21 x
∗
1
b 2
.
Sous cette condition, nous pouvons espérer que le mutant se fixe dans la population.
La condition de survie
F 21 = b 2 − d 2 − c 21
b 1 − d 1
c 11
> 0
(7.3.5)
correspond au taux de croissance d’une petite population de type 2 dans une population
résidente à l’équilibre de type 1. Ce nombre F 21 est appelée la fitness d’invasion d’une
population de type 2 dans une population résidente de type 1. Remarquons que cette fitness
est nulle si les deux types sont identiques. Si le paramètre de compétition est constant
(les ressources sont consommées de manière homogène par les individus des deux types),
alors la condition de survie devient
b 2 − d 2 > b 1 − d 1 .
(7.3.6)
244
CHAPITRE 7. QUELQUES DÉVELOPPEMENTS MODERNES ...
individus de type 2 est initialement de petite taille ; elle est donc modélisée par un processus de naissance et mort. Pendant un certain temps, la taille de cette population est
négligeable par rapport à celle des individus de type 1. Un individu de type 2 subit donc
essentiellement l’impact des individus de type 1 dans sa lutte pour la survie (partage des
ressources), et les individus de type 1 ne ressentent pas l’influence des individus de type
2. Nous introduisons le paramètre c 21 qui décrit la pression de compétition d’un individu
de type 1 sur un individu de type 2. Le taux de mort d’un individu de type 2 est donc
approché par
d 2 + c 21 x
∗
1 = d 2 + c 21
b 1 − d 1
c 11
.
Pour que les individus de type 2 puissent se fixer dans la population, il est nécessaire que
le processus de naissance et mort associé au type 2 survive en temps long. Au Chapitre 5,
(voir Théorème 5.5.5 et l’application au processus de branchement binaire avec un unique
ancêtre), nous avons obtenu les conditions d’une telle survie et dans le cas de survie
possible, nous avons calculé la probabilité de cet événement. En adaptant ces conditions,
nous en déduisons les résultats suivants.
• Si b 2 ≤ d 2 + c 21 x
∗
1 , la population d’individus de type 2 issue de l’individu mutant va
s’éteindre et la population redeviendra, si l’on attend suffisamment longtemps, une population de type 1. (Nous supposons dans cette interprétation que les mutations sont
rares et qu’une nouvelle mutation n’arrivera que bien après cette phase de développement et de disparition de la population de type 2).
• En revanche, si b 2 > d 2 + c 21 x
∗
1 , la population d’individus de type 2 se développe suivant
un processus surcritique et la probabilité de survie est non nulle, donnée par
b 2 − d 2 − c 21 x
∗
1
b 2
.
Sous cette condition, nous pouvons espérer que le mutant se fixe dans la population.
La condition de survie
F 21 = b 2 − d 2 − c 21
b 1 − d 1
c 11
> 0
(7.3.5)
correspond au taux de croissance d’une petite population de type 2 dans une population
résidente à l’équilibre de type 1. Ce nombre F 21 est appelée la fitness d’invasion d’une
population de type 2 dans une population résidente de type 1. Remarquons que cette fitness
est nulle si les deux types sont identiques. Si le paramètre de compétition est constant
(les ressources sont consommées de manière homogène par les individus des deux types),
alors la condition de survie devient
b 2 − d 2 > b 1 − d 1 .
(7.3.6)
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