Nous en déduisons ici que la distribution stationnaire de Y a pour densité
g(x) = f (s(x))s
(x) =
1
m(R
∗
+ )h 2 (s(x))
s
(x)
=
1
m(R
∗
+ )σ 2 x 2 s (x)
=
1
m(R
∗
+ )σ 2 x 2
x
a
−
2r
σ 2 e
2c
σ 2 (x−a)
.
Nous reconnaissons la densité d’une loi Gamma(κ, θ) de paramètres θ =
σ 2
2c
et κ =
2r
σ 2 −1.
7.3 Etude de l’invasion d’un mutant dans une grande
population résidente à l’équilibre
Dans ce paragraphe, nous modélisons l’une des étapes du mécanisme d’invasion d’un
individu mutant dans une population à l’équilibre. Cette étude fait partie d’un travail de
recherche sur la modélisation aléatoire de la dynamique adaptative, que l’on peut trouver
par exemple dans Champagnat-Ferrière-Méléard [18], Champagnat [19] ou dans Méléard [56].
Considérons une grande population à l’équilibre en supposant que tous les individus sont
de même type génétique 1. Les paramètres démographiques dépendent du type génétique.
Les individus de type 1 se reproduisent à taux b 1 et donnent naissance à un seul descendant. Par hérédité, un individu transmet son type à ses descendants, sauf si une mutation
arrive. Les individus de type 1 meurent à taux d 1 ou du fait d’une compétition avec les
autres individus présents. Nous notons c 11 la pression de compétition entre deux individus
de type 1. Nous supposons que sans compétition, le processus de naissance et mort serait
surcritique : b 1 − d 1 > 0.
Au Chapitre 5.6.1, Théorème 5.6.1, nous avons montré que la taille (x(t), t ≥ 0) de cette
population est approchée par la solution de l’équation différentielle
x
(t) = x(t) (b 1 − d 1 − c 11 x(t)).
L’équilibre stable de cette équation, qui vaut
x
∗
1 =
b 1 − d 1
c 11
,
représente donc la taille de la population de type 1 à l’équilibre.
Supposons qu’un individu mutant, de type 2, apparaisse lors d’un événement de reproduction. Même si cet individu est unique au moment de son apparition, il développe par
hérédité une sous-population d’individus de type 2. Nous supposons que les paramètres
243
7.3. ETUDE DE L’INVASION D’UN MUTANT DANS UNE GRANDE ...
g(x) = f (s(x))s
(x) =
1
m(R
∗
+ )h 2 (s(x))
s
(x)
=
1
m(R
∗
+ )σ 2 x 2 s (x)
=
1
m(R
∗
+ )σ 2 x 2
x
a
−
2r
σ 2 e
2c
σ 2 (x−a)
.
Nous reconnaissons la densité d’une loi Gamma(κ, θ) de paramètres θ =
σ 2
2c
et κ =
2r
σ 2 −1.
7.3 Etude de l’invasion d’un mutant dans une grande
population résidente à l’équilibre
Dans ce paragraphe, nous modélisons l’une des étapes du mécanisme d’invasion d’un
individu mutant dans une population à l’équilibre. Cette étude fait partie d’un travail de
recherche sur la modélisation aléatoire de la dynamique adaptative, que l’on peut trouver
par exemple dans Champagnat-Ferrière-Méléard [18], Champagnat [19] ou dans Méléard [56].
Considérons une grande population à l’équilibre en supposant que tous les individus sont
de même type génétique 1. Les paramètres démographiques dépendent du type génétique.
Les individus de type 1 se reproduisent à taux b 1 et donnent naissance à un seul descendant. Par hérédité, un individu transmet son type à ses descendants, sauf si une mutation
arrive. Les individus de type 1 meurent à taux d 1 ou du fait d’une compétition avec les
autres individus présents. Nous notons c 11 la pression de compétition entre deux individus
de type 1. Nous supposons que sans compétition, le processus de naissance et mort serait
surcritique : b 1 − d 1 > 0.
Au Chapitre 5.6.1, Théorème 5.6.1, nous avons montré que la taille (x(t), t ≥ 0) de cette
population est approchée par la solution de l’équation différentielle
x
(t) = x(t) (b 1 − d 1 − c 11 x(t)).
L’équilibre stable de cette équation, qui vaut
x
∗
1 =
b 1 − d 1
c 11
,
représente donc la taille de la population de type 1 à l’équilibre.
Supposons qu’un individu mutant, de type 2, apparaisse lors d’un événement de reproduction. Même si cet individu est unique au moment de son apparition, il développe par
hérédité une sous-population d’individus de type 2. Nous supposons que les paramètres
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7.3. ETUDE DE L’INVASION D’UN MUTANT DANS UNE GRANDE ...