7.2. ABONDANCE EN ENVIRONNEMENT ALÉATOIRE
2 1
Le Théorème 7.1.2 nous permet d’affirmer que la population persistera avec probabilité
positive si et seulement si
m 1 (1 − p) + δ m 1 p > 1,
(7.1.2)
où δ est le taux de dépression dû au passage dans les puits :
δ = E(m
S ) =
k≥1
m
k P(S = k).
Dans le cas où il y a seulement deux habitats (K = 2, une source et un puits), la variable
aléatoire S suit une loi géométrique de paramètre q = 1 − p, d’où δ =
m q
1−m(1−q)
. Ainsi,
la condition (7.1.2) s’écrit
m 1 p
1 − m 1 (1 − p)
>
1 − m(1 − q)
m q
.
7.2 Abondance en environnement aléatoire
Ce travail est issu de Evans, Hening and Schreiber [33].
Dans l’équation de Feller (5.6.45), le terme stochastique est démographique au sens où,
comme vu au Chapitre 5.6.2, il vient d’une multitude de naissances et morts.
Il est aussi possible de modéliser d’autres sources d’aléa, comme la stochasticité environnementale. Dans ce paragraphe, le processus (Y t , t ≥ 0) désigne l’abondance d’une
population dans un environnement aléatoire. Il est gouverné par l’équation différentielle
stochastique
dY t = Y t (r − cY t ) + σY t dW t , Y 0 > 0,
(7.2.3)
où (W t ) t≥0 est un mouvement brownien standard.
Le taux de croissance a une composante stochastique dont σ
2 est la variance infinitésimale.
Le processus est bien défini et a une forme explicite, ce qui se montre facilement en utilisant
la formule d’Itô.
Y t =
Y 0 exp
(r −
σ 2
2
)t + σW t
1 + c Y 0
t
0
exp
(r −
σ 2
2
)s + σW s
ds
.
(7.2.4)
Nous remarquons que Y t ≥ 0 pour tout t ≥ 0 presque-sûrement.
Il est alors possible d’en déduire le comportement en temps long du processus, qui dépend
du signe de r −
σ 2
2
.
4
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Le Théorème 7.1.2 nous permet d’affirmer que la population persistera avec probabilité
positive si et seulement si
m 1 (1 − p) + δ m 1 p > 1,
(7.1.2)
où δ est le taux de dépression dû au passage dans les puits :
δ = E(m
S ) =
k≥1
m
k P(S = k).
Dans le cas où il y a seulement deux habitats (K = 2, une source et un puits), la variable
aléatoire S suit une loi géométrique de paramètre q = 1 − p, d’où δ =
m q
1−m(1−q)
. Ainsi,
la condition (7.1.2) s’écrit
m 1 p
1 − m 1 (1 − p)
>
1 − m(1 − q)
m q
.
7.2 Abondance en environnement aléatoire
Ce travail est issu de Evans, Hening and Schreiber [33].
Dans l’équation de Feller (5.6.45), le terme stochastique est démographique au sens où,
comme vu au Chapitre 5.6.2, il vient d’une multitude de naissances et morts.
Il est aussi possible de modéliser d’autres sources d’aléa, comme la stochasticité environnementale. Dans ce paragraphe, le processus (Y t , t ≥ 0) désigne l’abondance d’une
population dans un environnement aléatoire. Il est gouverné par l’équation différentielle
stochastique
dY t = Y t (r − cY t ) + σY t dW t , Y 0 > 0,
(7.2.3)
où (W t ) t≥0 est un mouvement brownien standard.
Le taux de croissance a une composante stochastique dont σ
2 est la variance infinitésimale.
Le processus est bien défini et a une forme explicite, ce qui se montre facilement en utilisant
la formule d’Itô.
Y t =
Y 0 exp
(r −
σ 2
2
)t + σW t
1 + c Y 0
t
0
exp
(r −
σ 2
2
)s + σW s
ds
.
(7.2.4)
Nous remarquons que Y t ≥ 0 pour tout t ≥ 0 presque-sûrement.
Il est alors possible d’en déduire le comportement en temps long du processus, qui dépend
du signe de r −
σ 2
2
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