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Le cas d’une population complètement mélangeante. Le cas d’une population
complètement mélangeante se traduit par une matrice (p ij ) , dont toutes les colonnes
sont égales au même vecteur D (∀j = 1, · · · , K, p ij = D j ) : la probabilité de migration
vers l’habitat j est indépendante de l’habitat du parent. Dans ce cas, il est facile de
comparer les résultats des Théorèmes 7.1.1 et 7.1.2. Nous pouvons facilement calculer la
valeur propre maximale λ de A . En effet A est la matrice de rang K égale à m D
T , où
m est le vecteur colonne (m 1 , · · · , m K ) et D
T le vecteur ligne D. Ainsi, l’on peut montrer
facilement que A
n = (
K
i=1 m i D i )
n−1 A et le nombre ρ =
K
i=1 m i D i est donc la plus
grande valeur propre de A.
Par ailleurs, les variables aléatoires X n sont indépendantes et de même loi D. Ainsi le
temps T est géométriquement distribué, de paramètre D 1 . En conditionnant par T , nous
obtenons
m 1 E
T −1
n=1
m Xn
= m 1
k≥1
E
T −1
n=1
m Xn | T = k
P(T = k)
= m 1
k≥1
D 1 (1 − D 1 )
k−1
K
j=2
m j
D j
1 − D 1
k−1
= m 1 D 1
k≥1
K
j=2
m j D j
k−1
.
Si
K
j=2 m j D j ≥ 1, alors le terme de droite vaut +∞ et on a persistance avec probabilité
positive. Si
K
j=2 m j D j < 1, nous obtenons alors m 1 E
T −1
n=1 m Xn
=
m1D1
1−
K
j=2 mj Dj
.
Cette quantité sera supérieure à 1 si et seulement si
K
j=1 m j D j > 1. Nous retrouvons le
critère donné par le Théorème de Perron-Frobenius.
Preuve du Théorème 7.1.2. Considérons un individu a se trouvant au temps 0 dans
l’habitat 1. Soit Y 1 le nombre d’enfants de a qui sont encore dans a et de même, appelons
Y n le nombre de descendants de a à la génération n vivant dans l’habitat 1 et dont tous
les parents (autres que a) ont vécu hors de cet habitat. Posons
Y =
n≥1
Y n ,
qui est le nombre de descendants de a qui vivent dans l’habitat 1 pour la première fois
dans leur lignée (hormis a).
Calculons E(Y ). Notons Y
(i)
n
le nombre de descendants de 1 dans le patch i à la génération
n qui ont évité le patch 1 aux générations 1, . . . , n − 1. Par récurrence, nous pouvons
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7.1. SURVIE ET CROISSANCE DE MÉTAPOPULATIONS ...
Le cas d’une population complètement mélangeante. Le cas d’une population
complètement mélangeante se traduit par une matrice (p ij ) , dont toutes les colonnes
sont égales au même vecteur D (∀j = 1, · · · , K, p ij = D j ) : la probabilité de migration
vers l’habitat j est indépendante de l’habitat du parent. Dans ce cas, il est facile de
comparer les résultats des Théorèmes 7.1.1 et 7.1.2. Nous pouvons facilement calculer la
valeur propre maximale λ de A . En effet A est la matrice de rang K égale à m D
T , où
m est le vecteur colonne (m 1 , · · · , m K ) et D
T le vecteur ligne D. Ainsi, l’on peut montrer
facilement que A
n = (
K
i=1 m i D i )
n−1 A et le nombre ρ =
K
i=1 m i D i est donc la plus
grande valeur propre de A.
Par ailleurs, les variables aléatoires X n sont indépendantes et de même loi D. Ainsi le
temps T est géométriquement distribué, de paramètre D 1 . En conditionnant par T , nous
obtenons
m 1 E
T −1
n=1
m Xn
= m 1
k≥1
E
T −1
n=1
m Xn | T = k
P(T = k)
= m 1
k≥1
D 1 (1 − D 1 )
k−1
K
j=2
m j
D j
1 − D 1
k−1
= m 1 D 1
k≥1
K
j=2
m j D j
k−1
.
Si
K
j=2 m j D j ≥ 1, alors le terme de droite vaut +∞ et on a persistance avec probabilité
positive. Si
K
j=2 m j D j < 1, nous obtenons alors m 1 E
T −1
n=1 m Xn
=
m1D1
1−
K
j=2 mj Dj
.
Cette quantité sera supérieure à 1 si et seulement si
K
j=1 m j D j > 1. Nous retrouvons le
critère donné par le Théorème de Perron-Frobenius.
Preuve du Théorème 7.1.2. Considérons un individu a se trouvant au temps 0 dans
l’habitat 1. Soit Y 1 le nombre d’enfants de a qui sont encore dans a et de même, appelons
Y n le nombre de descendants de a à la génération n vivant dans l’habitat 1 et dont tous
les parents (autres que a) ont vécu hors de cet habitat. Posons
Y =
n≥1
Y n ,
qui est le nombre de descendants de a qui vivent dans l’habitat 1 pour la première fois
dans leur lignée (hormis a).
Calculons E(Y ). Notons Y
(i)
n
le nombre de descendants de 1 dans le patch i à la génération
n qui ont évité le patch 1 aux générations 1, . . . , n − 1. Par récurrence, nous pouvons
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7.1. SURVIE ET CROISSANCE DE MÉTAPOPULATIONS ...