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CHAPITRE 7. QUELQUES DÉVELOPPEMENTS MODERNES ...
d’individus dans l’habitat j à la génération n. Le processus (Z n ) n est un processus de
branchement multitype (Voir Chapitre 3.7). Supposons que Z 0
Z n vaut
E(Z n ) = Z 0 A
n .
( A est la matrice transposée de M si l’on prend les notations du Chapitre 3.7). Supposons
que A satisfait (3.7.33). Par le Théorème de Perron-Frobenius (voir Théorème 3.7.7), il
existe une valeur propre (simple) maximale λ > 0 associée à des vecteurs propres positifs
u et v tels que
A u = λ u ; v A = λ v.
De plus, nous avons les comportements asymptotiques suivants.
Théorème 7.1.1 Si λ ≤ 1, la population s’éteint.
Si λ > 1, la population survit avec probabilité positive et croît géométriquement avec taux
λ. La répartition asymptotique dans les habitats est donnée par v.
En temps grand, la proportion du temps passé par un individu dans l’habitat i est u i v i .
Cette approche est simple mais les résultats sont peu explicites. En effet, il est difficile
d’interpréter les résultats car on ne voit pas les rôles spécifiques de la dispersion et de la
reproduction. De plus, la structure de graphe n’est pas explicite.
7.1.2 Deuxième approche - Chaîne de Markov sur un graphe
Dans cette approche, nous voulons dissocier les déplacements des reproductions et intégrer
plus précisément la dynamique de déplacement d’un habitat à un autre et la structure de
graphe. Nous considérons la chaîne de Markov (X n ) n dont les probabilités de transition
sont définies par
P(X n+1 = j | X n = i) = p ij .
Nous supposons que la chaîne de Markov est irréductible. (Voir Chapitre 2).
Théorème 7.1.2 La population survit avec probabilité positive si et seulement si
m 1 E 1 (m X1 · · · m X T −1 ) > 1,
(7.1.1)
où T est le temps de retour dans l’habitat 1 :
T = inf{n ≥ 1, X n = 1}.
T est bien défini sous la condition d’irréductibilité. Remarquons également que même si
1 est supposé être l’habitat initial, le critère n’en dépend pas grâce à l’hypothèse d’irréductibilité. Ainsi, la persistance aura lieu avec probabilité strictement positive si il existe
une dynamique surcritique à un endroit du graphe.
soit donné, la moyenne de
CHAPITRE 7. QUELQUES DÉVELOPPEMENTS MODERNES ...
d’individus dans l’habitat j à la génération n. Le processus (Z n ) n est un processus de
branchement multitype (Voir Chapitre 3.7). Supposons que Z 0
Z n vaut
E(Z n ) = Z 0 A
n .
( A est la matrice transposée de M si l’on prend les notations du Chapitre 3.7). Supposons
que A satisfait (3.7.33). Par le Théorème de Perron-Frobenius (voir Théorème 3.7.7), il
existe une valeur propre (simple) maximale λ > 0 associée à des vecteurs propres positifs
u et v tels que
A u = λ u ; v A = λ v.
De plus, nous avons les comportements asymptotiques suivants.
Théorème 7.1.1 Si λ ≤ 1, la population s’éteint.
Si λ > 1, la population survit avec probabilité positive et croît géométriquement avec taux
λ. La répartition asymptotique dans les habitats est donnée par v.
En temps grand, la proportion du temps passé par un individu dans l’habitat i est u i v i .
Cette approche est simple mais les résultats sont peu explicites. En effet, il est difficile
d’interpréter les résultats car on ne voit pas les rôles spécifiques de la dispersion et de la
reproduction. De plus, la structure de graphe n’est pas explicite.
7.1.2 Deuxième approche - Chaîne de Markov sur un graphe
Dans cette approche, nous voulons dissocier les déplacements des reproductions et intégrer
plus précisément la dynamique de déplacement d’un habitat à un autre et la structure de
graphe. Nous considérons la chaîne de Markov (X n ) n dont les probabilités de transition
sont définies par
P(X n+1 = j | X n = i) = p ij .
Nous supposons que la chaîne de Markov est irréductible. (Voir Chapitre 2).
Théorème 7.1.2 La population survit avec probabilité positive si et seulement si
m 1 E 1 (m X1 · · · m X T −1 ) > 1,
(7.1.1)
où T est le temps de retour dans l’habitat 1 :
T = inf{n ≥ 1, X n = 1}.
T est bien défini sous la condition d’irréductibilité. Remarquons également que même si
1 est supposé être l’habitat initial, le critère n’en dépend pas grâce à l’hypothèse d’irréductibilité. Ainsi, la persistance aura lieu avec probabilité strictement positive si il existe
une dynamique surcritique à un endroit du graphe.
soit donné, la moyenne de