6.5. EXERCICES
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On s’intéresse à la dynamique du nombre d’individus (X t , t ≥ 0) portant l’allèle A au
cours du temps.
1 - Justifier que le modèle est décrit par un processus markovien de saut X à valeurs dans
{0, . . . , N} et donner son générateur.
2 - Établir l’équation différentielle régissant la moyenne et la variance de la proportion
d’individus d’allèle A au cours du temps.
3 - Quelle limite d’échelle permettrait de trouver une diffusion de Wright-Fisher ?
Exercice 6.5.3 Approximation-diffusion d’un modèle de Moran avec sélection
Le modèle de Moran est un modèle d’évolution d’une population de taille fixe N comportant des individus de type “résident” et des individus de type “mutant”. Lorsque N est
grand, la proportion de mutants dans la population peut être approchée par la diffusion
suivante :
dY t = s N Y t (1 − Y t )dt +
2 + s N
N
Y t (1 − Y t )dB t ,
où s N > −1 est l’avantage sélectif des mutants.
1 - Quel est le générateur de la diffusion Y ?
2 - Calculer la probabilité de fixation d’une sous-population de Nx mutants.
3 - Décrire qualitativement le comportement de cette approximation-diffusion lorsque N
tend vers l’infini, selon que s N → s, s N =
s
N
ou s N =
s
N 2 . On montrera que pour obtenir
une limite non triviale, il sera nécessaire de faire le changement de temps t → Nt.
Exercice 6.5.4 Coalescent de Kingman et nombre de sites polymorphes.
Le coalescent de Kingman est un processus dans lequel on suit les lignées d’une généalogie
asexuée dans le sens rétrospectif du temps et où chaque paire de lignées, indépendamment,
coalesce à taux constant 1. On appelle T n le temps que n lignées mettent à coalescer,
c’est-à-dire le temps que met le coalescent de Kingman issu de n lignées pour arriver à la
lignée ancestrale, ou encore le temps qui s’est écoulé depuis leur ancêtre commun le plus
récent.
Partie I : temps moyen jusqu’au premier ancêtre commun
I.1 - Calculer E(T n ).
I.2 - Que vaut la limite lim n→∞ E(T n ). Interprétation ?
Partie II : loi du nombre de sites polymorphes
3
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On s’intéresse à la dynamique du nombre d’individus (X t , t ≥ 0) portant l’allèle A au
cours du temps.
1 - Justifier que le modèle est décrit par un processus markovien de saut X à valeurs dans
{0, . . . , N} et donner son générateur.
2 - Établir l’équation différentielle régissant la moyenne et la variance de la proportion
d’individus d’allèle A au cours du temps.
3 - Quelle limite d’échelle permettrait de trouver une diffusion de Wright-Fisher ?
Exercice 6.5.3 Approximation-diffusion d’un modèle de Moran avec sélection
Le modèle de Moran est un modèle d’évolution d’une population de taille fixe N comportant des individus de type “résident” et des individus de type “mutant”. Lorsque N est
grand, la proportion de mutants dans la population peut être approchée par la diffusion
suivante :
dY t = s N Y t (1 − Y t )dt +
2 + s N
N
Y t (1 − Y t )dB t ,
où s N > −1 est l’avantage sélectif des mutants.
1 - Quel est le générateur de la diffusion Y ?
2 - Calculer la probabilité de fixation d’une sous-population de Nx mutants.
3 - Décrire qualitativement le comportement de cette approximation-diffusion lorsque N
tend vers l’infini, selon que s N → s, s N =
s
N
ou s N =
s
N 2 . On montrera que pour obtenir
une limite non triviale, il sera nécessaire de faire le changement de temps t → Nt.
Exercice 6.5.4 Coalescent de Kingman et nombre de sites polymorphes.
Le coalescent de Kingman est un processus dans lequel on suit les lignées d’une généalogie
asexuée dans le sens rétrospectif du temps et où chaque paire de lignées, indépendamment,
coalesce à taux constant 1. On appelle T n le temps que n lignées mettent à coalescer,
c’est-à-dire le temps que met le coalescent de Kingman issu de n lignées pour arriver à la
lignée ancestrale, ou encore le temps qui s’est écoulé depuis leur ancêtre commun le plus
récent.
Partie I : temps moyen jusqu’au premier ancêtre commun
I.1 - Calculer E(T n ).
I.2 - Que vaut la limite lim n→∞ E(T n ). Interprétation ?
Partie II : loi du nombre de sites polymorphes
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