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CHAPITRE 6. PROCESSUS D’ÉVOLUTION GÉNÉTIQUE
Théorème 6.4.5, il y a
k−1
−1
vecteurs possibles (j 1 , · · · , j ) d’entiers positifs de somme k.
Ainsi il s’en suit que
P
Z
1
t = j 1 , · · · , Z
t = j
j=1
Z
j
t = k
= 1/
− 1
k − 1
.
La distribution conditionnelle est donc uniforme sur tous les vecteurs possibles. Puisque
le nombre de vecteurs (j 2 , · · · , j ) d’entiers positifs de somme k − j 1 est
k−j1−1
−2
, on
obtient
P
Z
1
t = j 1
k
j=1
Z
j
t =
=
k − j 1 − 1
− 2
/
− 1
− 1
.
Cela conclut la preuve.
6.5 Exercices
Exercice 6.5.1 Généalogie de BGW conditionnée à être de taille constante.
On considère une généalogie de BGW conditionnée à être de taille constante N et avec
pour loi de reproduction la loi de Poisson de paramètre m. Ce modèle est intimement
lié au modèle de Wright-Fisher. On va voir que dans ce cas, la répartition du nombre de
descendants suit une loi multinomiale.
On note Z 1 , . . . , Z N le nombre de descendants des individus 1, . . . , N. Les Z 1 , . . . , Z N sont
donc indépendantes et équidistribuées, de loi de Poisson de paramètre m.
1 - Quelle est la loi de Z 1 + . . . + Z N ?
2 - Pour tous entiers k 1 , . . . , k N vérifiant k 1 + . . . + k N = N , calculer la probabilité
P(Z 1 = k 1 , . . . , Z N = k N | Z 1 + . . . + Z N = N ).
3 - Conclure. (La correction de cet exercice se trouve au Paragraphe 3.3)
Exercice 6.5.2 Modèle de Moran
On considère une population formée de N individus d’allèle A ou a. Au temps 0, il y a x 0
individus d’allèle A.
Les individus se reproduisent indépendamment les uns des autres et à taux 1 et donnent
naissance à un individu. Celui-ci porte le même allèle que son parent. Ce descendant
remplace alors un individu tiré uniformément au hasard dans la population, de sorte que
la taille de la population reste constante.
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