6.4. LA COALESCENCE : DESCRIPTION DES GÉNÉALOGIES
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Proposition 6.4.10 Considérons la répartition de (N 1 , · · · , N h ), où h est un nombre
fixé, alors que la taille de l’échantillon tend vers l’infini. Nous avons
lim
k→∞
P(N 1 = n 1 , · · · , N h = n h ) = P(Y 1 = n 1 , · · · , Y h = n h ),
(6.4.39)
où les variables aléatoires Y 1 , · · · , Y h sont indépendantes et de loi de Poisson de paramètres respectivement θ,
θ
2
, · · · ,
θ
h
.
6.4.4 Le point de vue processus de branchement avec immigration
On peut relier l’urne de Hoppe et la répartition allélique dans le coalescent à un processus
de branchement avec immigration. Les individus suivent les règles de reproduction d’un
processus de Yule : ils ne meurent jamais, et se reproduisent en donnant naissance à un
autre individu après un temps exponentiel de paramètre 1. Les migrants arrivent dans la
population aux temps successifs d’un processus de Poisson de paramètre θ.
Proposition 6.4.11 Si chaque migrant est d’un nouveau type, et si les naissances sont
du même type que celui des parents, alors la suite des états du processus de branchement
avec immigration a la même distribution que celle générée par l’urne de Hoppe.
Preuve. Si la population est composée de k individus, un nouvel arrivant aura un nouveau type avec probabilité
θ
θ+k
, et avec probabilité
k
k+θ
, il prendra le type d’un individu
choisi uniformément dans la population existante. A partir de cette description, il est
clair que la chaîne de Markov incluse pour ce processus de branchement binaire avec immigration a même distribution que la répartition des couleurs dans le modèle de Hoppe.
Combinons les résultats des Propositions 6.4.11 et 5.4.7. Nous obtenons alors une nouvelle
preuve du Théorème 6.4.5.
Théorème 6.4.12 Considérons le coalescent issu de k lignées et s’arrêtant quand il y a
lignées ( ≤ k). Soient J 1 , · · · , J les nombres de lignées dans l’échantillon issues des k
individus, quand ils sont labellés au hasard. Alors (J 1 , · · · , J ) est uniformément distribué
sur les vecteurs de (N
∗ )
dont la somme des coordonnées vaut k et pour tout m ≤ k −+1,
P (J i = m) =
k − m − 1
− 2
k − 1
− 1
.
Preuve. Soient Z
i
t , 1 ≤ i ≤ , des copies indépendantes du processus de Yule. Si j 1 , · · · , j
sont des entiers positifs de somme k, alors par la Proposition 5.4.7 appliquée avec a = 1,
P(Z
1
t = j 1 , · · · , Z
t = j ) = (1 − p)
k− p
où p = e
−t .
Puisque le terme de droite dépend seulement de la somme k et du nombre de termes ,
tous les vecteurs possibles ont la même probabilité. Comme déjà vu dans la preuve du
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Proposition 6.4.10 Considérons la répartition de (N 1 , · · · , N h ), où h est un nombre
fixé, alors que la taille de l’échantillon tend vers l’infini. Nous avons
lim
k→∞
P(N 1 = n 1 , · · · , N h = n h ) = P(Y 1 = n 1 , · · · , Y h = n h ),
(6.4.39)
où les variables aléatoires Y 1 , · · · , Y h sont indépendantes et de loi de Poisson de paramètres respectivement θ,
θ
2
, · · · ,
θ
h
.
6.4.4 Le point de vue processus de branchement avec immigration
On peut relier l’urne de Hoppe et la répartition allélique dans le coalescent à un processus
de branchement avec immigration. Les individus suivent les règles de reproduction d’un
processus de Yule : ils ne meurent jamais, et se reproduisent en donnant naissance à un
autre individu après un temps exponentiel de paramètre 1. Les migrants arrivent dans la
population aux temps successifs d’un processus de Poisson de paramètre θ.
Proposition 6.4.11 Si chaque migrant est d’un nouveau type, et si les naissances sont
du même type que celui des parents, alors la suite des états du processus de branchement
avec immigration a la même distribution que celle générée par l’urne de Hoppe.
Preuve. Si la population est composée de k individus, un nouvel arrivant aura un nouveau type avec probabilité
θ
θ+k
, et avec probabilité
k
k+θ
, il prendra le type d’un individu
choisi uniformément dans la population existante. A partir de cette description, il est
clair que la chaîne de Markov incluse pour ce processus de branchement binaire avec immigration a même distribution que la répartition des couleurs dans le modèle de Hoppe.
Combinons les résultats des Propositions 6.4.11 et 5.4.7. Nous obtenons alors une nouvelle
preuve du Théorème 6.4.5.
Théorème 6.4.12 Considérons le coalescent issu de k lignées et s’arrêtant quand il y a
lignées ( ≤ k). Soient J 1 , · · · , J les nombres de lignées dans l’échantillon issues des k
individus, quand ils sont labellés au hasard. Alors (J 1 , · · · , J ) est uniformément distribué
sur les vecteurs de (N
∗ )
dont la somme des coordonnées vaut k et pour tout m ≤ k −+1,
P (J i = m) =
k − m − 1
− 2
k − 1
− 1
.
Preuve. Soient Z
i
t , 1 ≤ i ≤ , des copies indépendantes du processus de Yule. Si j 1 , · · · , j
sont des entiers positifs de somme k, alors par la Proposition 5.4.7 appliquée avec a = 1,
P(Z
1
t = j 1 , · · · , Z
t = j ) = (1 − p)
k− p
où p = e
−t .
Puisque le terme de droite dépend seulement de la somme k et du nombre de termes ,
tous les vecteurs possibles ont la même probabilité. Comme déjà vu dans la preuve du
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