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CHAPITRE 6. PROCESSUS D’ÉVOLUTION GÉNÉTIQUE
Nous allons montrer que
¯
n
P θ (¯ n)p(¯ n, n) = P θ (n).
(6.4.38)
On a plusieurs possibilités :
• Si ¯
n 1 = n 1 − 1 : une nouvelle couleur vient d’être ajoutée. Dans ce cas, la probabilité
de transition pour l’urne de Hoppe est de
p(¯ n, n) =
θ
θ + k − 1
.
En notant N = (N 1 , · · · , N k ) on aura par ailleurs par la formule d’Ewens que
P θ (n)
P θ (¯ n)
=
k
θ + k − 1
θ
n 1
.
• Supposons que pour 1 ≤ j ≤ k, on a ¯
n j = n j + 1 et que ¯
n j+1 = n j+1 − 1. Une couleur
existante, qui était la couleur de j boules a été choisie, et le nombre de boules de cette
couleur devient j + 1. Dans ce cas, la probabilité de transition vaut alors
p(¯ n, n) =
j ¯
n j
θ + k − 1
.
Le rapport des probabilités donné par la formule d’Ewens est par ailleurs :
P θ (n)
P θ (¯ n)
=
k
θ + k − 1
.
j ¯
n j
(j + 1)n j+1
.
Observons maintenant que
¯
n
P θ (¯ n)
P θ (n)
p(¯ n, n) =
θ
θ + k − 1
.
θ + k − 1
k
.
n 1
θ
+
k−1
j=1
j ¯
n j
θ + k − 1
.
θ + k − 1
k
.
(j + 1)n j+1
j ¯
n j
.
En simplifiant les termes du membre de droite, nous obtenons finalement que
¯
n
P θ (¯ n)
P θ (n)
p(¯ n, n) =
n 1
k
+
k−1
j=1
(j + 1)n j+1
k
= 1,
puisque
k
j=1 jn j = k. Ainsi, les probabilités définies par la formule d’Ewens satisfont
(6.4.38). La distribution des couleurs de l’urne de Hoppe satisfait aussi cette propriété
(6.4.38), avec la même valeur de la probabilité d’obtenir ¯
n, par hypothèse de récurrence.
On en déduit que P(N = n) est donnée par la formule d’Ewens.
On en déduit la proposition suivante.
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