6.4. LA COALESCENCE : DESCRIPTION DES GÉNÉALOGIES
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Cette construction peut être pratique pour la simulation d’un coalescent avec mutation
à une infinité d’allèles.
• Le modèle du restaurant chinois. Nous considérons une infinité de tables et k
convives assis à certaines tables. Un nouveau convive arrive. Avec probabilité
θ
θ+k
, il
s’assied à une nouvelle table et avec probabilité
1
θ+k
, il choisit un convive au hasard et
s’assoit à son côté. Le nombre d’allèles (d’espèces) distincts a même loi que le nombre
de tables occupées.
• Le modèle écologique de Hubbell (cf. Hubbell [39]).
L’approximation conduisant au coalescent avec mutation a aussi son intérêt en écologie,
à travers le modèle écologique de Hubbell. C’est un modèle d’écologie quantitative. On
considère une forêt comprenant N sites occupés par N arbres d’espèces variées. Chaque
arbre qui meurt laisse place à un nouvel arbre dont l’espèce est soit ré-échantillonnée
parmi les k − 1 arbres restants avec probabilité 1 − μ, soit remplacée par une nouvelle
espèce avec probabilité μ. On suppose que les espèces migrantes proviennent d’une
métacommunauté d’arbres composée d’un nombre infini d’espèces. La probabilité μ
s’appelle le taux de spéciation.
6.4.3 Loi du nombre d’allèles distincts, formule d’Ewens
Etudions la loi de A k , qui, dans le modèle du restaurant chinois, est le nombre de tables
occupées par les k premiers convives ou le nombre de couleurs après k tirages dans le
modèle de Hoppe.
Théorème 6.4.7 1) La variable aléatoire A k peut s’écrire A k =
k
i=1 ε i , où les variables
aléatoires ε i sont indépendantes et de loi de Bernoulli avec
P(ε i = 1) =
θ
θ + i − 1
.
(6.4.33)
2) Il s’en suit que
E(A k ) ∼ k→∞ θ log k ; V ar(A k ) ∼ k→∞ θ log k.
(6.4.34)
3) Si Φ désigne la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite, alors pour tout
nombre réel x, on a
P
A k − E(A k )
V ar(A k )
≤ x
−→ k→+∞ Φ(x).
(6.4.35)
Preuve. Dans les différents modèles, nous posons ε i = 1 si le i-ième allèle provient d’une
mutation ou si le i-ième convive choisit une nouvelle table ou si le i-ième tirage donne
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Cette construction peut être pratique pour la simulation d’un coalescent avec mutation
à une infinité d’allèles.
• Le modèle du restaurant chinois. Nous considérons une infinité de tables et k
convives assis à certaines tables. Un nouveau convive arrive. Avec probabilité
θ
θ+k
, il
s’assied à une nouvelle table et avec probabilité
1
θ+k
, il choisit un convive au hasard et
s’assoit à son côté. Le nombre d’allèles (d’espèces) distincts a même loi que le nombre
de tables occupées.
• Le modèle écologique de Hubbell (cf. Hubbell [39]).
L’approximation conduisant au coalescent avec mutation a aussi son intérêt en écologie,
à travers le modèle écologique de Hubbell. C’est un modèle d’écologie quantitative. On
considère une forêt comprenant N sites occupés par N arbres d’espèces variées. Chaque
arbre qui meurt laisse place à un nouvel arbre dont l’espèce est soit ré-échantillonnée
parmi les k − 1 arbres restants avec probabilité 1 − μ, soit remplacée par une nouvelle
espèce avec probabilité μ. On suppose que les espèces migrantes proviennent d’une
métacommunauté d’arbres composée d’un nombre infini d’espèces. La probabilité μ
s’appelle le taux de spéciation.
6.4.3 Loi du nombre d’allèles distincts, formule d’Ewens
Etudions la loi de A k , qui, dans le modèle du restaurant chinois, est le nombre de tables
occupées par les k premiers convives ou le nombre de couleurs après k tirages dans le
modèle de Hoppe.
Théorème 6.4.7 1) La variable aléatoire A k peut s’écrire A k =
k
i=1 ε i , où les variables
aléatoires ε i sont indépendantes et de loi de Bernoulli avec
P(ε i = 1) =
θ
θ + i − 1
.
(6.4.33)
2) Il s’en suit que
E(A k ) ∼ k→∞ θ log k ; V ar(A k ) ∼ k→∞ θ log k.
(6.4.34)
3) Si Φ désigne la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite, alors pour tout
nombre réel x, on a
P
A k − E(A k )
V ar(A k )
≤ x
−→ k→+∞ Φ(x).
(6.4.35)
Preuve. Dans les différents modèles, nous posons ε i = 1 si le i-ième allèle provient d’une
mutation ou si le i-ième convive choisit une nouvelle table ou si le i-ième tirage donne
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