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CHAPITRE 6. PROCESSUS D’ÉVOLUTION GÉNÉTIQUE
une nouvelle couleur. Nous posons ε i = 0 sinon. Les ε i sont des variables aléatoires de
Bernoulli indépendantes et de paramètre
θ
θ+i−1
. Nous avons donc
E(A k ) =
k
i=1
E(ε i ) =
k
i=1
θ
θ + i − 1
; V ar(A k ) =
k
i=1
θ(i − 1)
(θ + i − 1) 2 .
En utilisant la décroissance de x →
θ
θ+x
, il est facile de montrer que
k
0
θ
θ + x
dx ≤ E(A k ) ≤ 1 +
k−1
0
θ
θ + x
dx.
Nous en déduisons que
E(A k ) ∼ k→∞ θ log(k).
Nous avons de plus que
V ar(A k ) − E(A k ) = −
k−1
i=0
θ
θ + i
2
,
qui est la somme partielle d’une série convergente. Cela entraîne que V ar(A k ) se comporte comme E(A k ), quand k tend vers l’infini. La troisième assertion découle d’un théorème de la limite centrale qui généralise le théorème central limite classique : ici, les
variables aléatoires sont indépendantes mais pas de même loi. Nous appliquons donc le
théorème suivant.
Théorème 6.4.8 (voir Billingsley [10]) Soit (X i ) i une suite de variables indépendantes
de carré intégrable centrées. Introduisons S n = X 1 + · · · + X n et s
2
n = E(S
2
n ). Alors la
condition de Lindenberg
∀ε > 0,
1
s 2
n
n
i=1
E
X
2
i |Xi|>εsn
−→ n→∞ 0
est réalisée si et seulement si lim n (s
−2
n max 1≤i≤n E(X
2
i )) = 0 et dans ce cas, la suite
S n
s n
n
converge en loi vers une variable aléatoire normale centrée réduite.
Dans notre contexte, nous avons
max
1≤i≤n
E((ε i − E(ε i ))
2 ) = max
1≤i≤n
θ(i − 1)
(θ + i − 1) 2 =
θ
(θ + 1) 2 ,
et nous savons que s
2
n ∼ n→+∞ θ log n. Ainsi la condition lim n (s
−2
n max 1≤i≤n E(
2
i )) = 0 est
réalisée et nous pouvons appliquer le théorème : la suite
A k −E(A k )
√
V ar(A k )
k
converge en loi vers
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