2.1. MARCHES ALÉATOIRES ET CHAÎNES DE MARKOV
X n la taille d’une population à l’instant n. Notons par Y
n
i la variable aléatoire à valeurs
entières représentant le nombre de descendants de chaque individu i ≤ X n au temps n.
La dynamique de la taille de la population est décrite pour n ≥ 0 par
X n+1 =
Xn
i=1
Y
n
i ,
où la somme est nulle sur {X n = 0}. On suppose de plus que les variables aléatoires
(Y
n
i , i, n ∈ N) sont indépendantes et de de même loi. La suite (X n ) n forme alors une
chaîne de Markov homogène à valeurs dans N, de matrice de transition (P i,j ) vérifiant
P 0,0 = 1 ; P i,j = P
i
k=1
Y
0
k = j
pour tous i, j ∈ N, i ≥ 1.
Dans cette exemple, la matrice de transition est difficile à utiliser et nous verrons au
Chapitre 3 qu’il est plus simple d’étudier la fonction génératrice de X n .
4) Processus de naissance et mort. Voici un autre modèle markovien de taille de population indexé par le temps discret. Désignons comme précédemment par X n la taille d’une
population à l’instant n. A chaque instant n, un unique individu peut naître ou mourir.
Ses probabilités de naissance et mort dépendent de la taille de la population à cet instant. Ainsi, conditionnellement à {X n = i}, les probabilités de naissance et mort seront
respectivement b i et d i . Nous supposerons que b 0 = d 0 = 0 et que d i > 0 pour i ≥ 1. Le
processus prend ses valeurs dans N sauf si l’on impose une contrainte sur la taille de la
population, par exemple que celle-ci ne puisse pas dépasser le seuil N . Dans ce cas nous
supposerons également que b N = 0. Cette contrainte peut-être une manière de modéliser
une compétition des individus pour le partage des ressources : si il y a trop d’individus,
ceux-ci utilisent la totalité des ressources pour survivre et n’ont plus les moyens énergétiques pour se reproduire. Les probabilités de transition du processus de naissance et
mort sont égales à
P i,i+1 = b i ; P i,i−1 = d i ; P i,i = 1 − b i − d i ; P i,j = 0 si i ≥ 1, j = i + 1, i − 1, i.
De plus, P 0,0 = 1, P 0,j = 0 pour j = 0 et dans le cas d’une population de taille au plus
N , nous aurons également P N,N+1 = b N = 0.
Revenons à la situation générale où nous considérons une chaîne de Markov homogène
quelconque et pour n ∈ N
∗ , notons par (P
(n)
i,j ) la matrice définie par
P
(n)
i,j = P(X n = j | X 0 = i).
(2.2)
Proposition 2.1.7 La matrice P
(n) est égale au produit de matrices P
n .
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X n la taille d’une population à l’instant n. Notons par Y
n
i la variable aléatoire à valeurs
entières représentant le nombre de descendants de chaque individu i ≤ X n au temps n.
La dynamique de la taille de la population est décrite pour n ≥ 0 par
X n+1 =
Xn
i=1
Y
n
i ,
où la somme est nulle sur {X n = 0}. On suppose de plus que les variables aléatoires
(Y
n
i , i, n ∈ N) sont indépendantes et de de même loi. La suite (X n ) n forme alors une
chaîne de Markov homogène à valeurs dans N, de matrice de transition (P i,j ) vérifiant
P 0,0 = 1 ; P i,j = P
i
k=1
Y
0
k = j
pour tous i, j ∈ N, i ≥ 1.
Dans cette exemple, la matrice de transition est difficile à utiliser et nous verrons au
Chapitre 3 qu’il est plus simple d’étudier la fonction génératrice de X n .
4) Processus de naissance et mort. Voici un autre modèle markovien de taille de population indexé par le temps discret. Désignons comme précédemment par X n la taille d’une
population à l’instant n. A chaque instant n, un unique individu peut naître ou mourir.
Ses probabilités de naissance et mort dépendent de la taille de la population à cet instant. Ainsi, conditionnellement à {X n = i}, les probabilités de naissance et mort seront
respectivement b i et d i . Nous supposerons que b 0 = d 0 = 0 et que d i > 0 pour i ≥ 1. Le
processus prend ses valeurs dans N sauf si l’on impose une contrainte sur la taille de la
population, par exemple que celle-ci ne puisse pas dépasser le seuil N . Dans ce cas nous
supposerons également que b N = 0. Cette contrainte peut-être une manière de modéliser
une compétition des individus pour le partage des ressources : si il y a trop d’individus,
ceux-ci utilisent la totalité des ressources pour survivre et n’ont plus les moyens énergétiques pour se reproduire. Les probabilités de transition du processus de naissance et
mort sont égales à
P i,i+1 = b i ; P i,i−1 = d i ; P i,i = 1 − b i − d i ; P i,j = 0 si i ≥ 1, j = i + 1, i − 1, i.
De plus, P 0,0 = 1, P 0,j = 0 pour j = 0 et dans le cas d’une population de taille au plus
N , nous aurons également P N,N+1 = b N = 0.
Revenons à la situation générale où nous considérons une chaîne de Markov homogène
quelconque et pour n ∈ N
∗ , notons par (P
(n)
i,j ) la matrice définie par
P
(n)
i,j = P(X n = j | X 0 = i).
(2.2)
Proposition 2.1.7 La matrice P
(n) est égale au produit de matrices P
n .
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