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CHAPITRE 2. POPULATIONS SPATIALES ET TEMPS DISCRET
Remarque 2.1.6 La suite (X n ) n satisfait la propriété de Markov si et seulement si pour
toute fonction f bornée sur Z, et pour tout entier naturel n, on a
E(f (X n+1 )|F n ) = E(f (X n+1 )|X n ).
En effet, il suffit de vérifier que pour tous i 0 , · · · , i n ,
E(f (X n+1 )|(X 0 , · · · , X n ) = (i 0 , · · · , i n )) =
j∈Z
f (j) P(X n+1 = j|(X 0 , · · · , X n ) = (i 0 , · · · , i n ))
=
j∈Z
f (j) P(X n+1 = j|X n = i n ) = E(f (X n+1 )|X n = i n ).
Exemples :
1) Marche aléatoire simple dans Z. Les déplacements Z n sont indépendants et équidistribués de loi chargeant {−1, 1} avec probabilités respectives 1 − p et p. La marche aléatoire
simple est une chaîne de Markov homogène de matrice de transition (P i,j ) vérifiant
P i,i+1 = p ; P i,i−1 = 1 − p ; P i,j = 0 si j = i + 1, i − 1.
Si p =
1
2
, la marche aléatoire est symétrique.
Ce modèle peut par exemple décrire le déplacement vertical d’une particule de plancton dans l’océan Atlantique, où la profondeur moyenne est d’environ 3300 m. Si nous
considérons sa position à des temps discrets, nous pouvons supposer que cette particule
se déplace verticalement comme une marche aléatoire unidimensionnelle. La profondeur
est suffisamment grande par rapport à la taille de la cellule pour que le déplacement de
celle-ci soit considéré comme possible sur tout Z.
2) Modèle de dynamique des ressources. A chaque instant n ≥ 0, une quantité R de
ressources est créée et une quantité aléatoire Z n en est consommée par un certain groupe
d’individus. On suppose que les variables aléatoires (Z n ) n sont indépendantes et de même
loi à valeurs entières et l’on note p k = P(Z 1 = k) pour tout entier k. Si l’on note par X n
le niveau des ressources à l’instant n, on obtient la dynamique suivante :
X n = (X n−1 + R − Z n )
+
pour tout n ≥ 1.
La suite (X n ) n forme alors une chaîne de Markov homogène à valeurs dans N, de matrice
de transition (P ij ) vérifiant pour tous i, j ∈ N,
P i,0 = P(Z n ≥ i + R) =
k≥i+R
p k ; P i,j = P(i + R − Z n = j) = p R+i−j si j ≤ R + i − 1 ;
P i,j = 0 sinon.
3) Processus de branchement. Ces modèles ont été introduits pour modéliser les générations successives d’une population. Ils seront développés au Chapitre 3. Désignons par
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CHAPITRE 2. POPULATIONS SPATIALES ET TEMPS DISCRET
Remarque 2.1.6 La suite (X n ) n satisfait la propriété de Markov si et seulement si pour
toute fonction f bornée sur Z, et pour tout entier naturel n, on a
E(f (X n+1 )|F n ) = E(f (X n+1 )|X n ).
En effet, il suffit de vérifier que pour tous i 0 , · · · , i n ,
E(f (X n+1 )|(X 0 , · · · , X n ) = (i 0 , · · · , i n )) =
j∈Z
f (j) P(X n+1 = j|(X 0 , · · · , X n ) = (i 0 , · · · , i n ))
=
j∈Z
f (j) P(X n+1 = j|X n = i n ) = E(f (X n+1 )|X n = i n ).
Exemples :
1) Marche aléatoire simple dans Z. Les déplacements Z n sont indépendants et équidistribués de loi chargeant {−1, 1} avec probabilités respectives 1 − p et p. La marche aléatoire
simple est une chaîne de Markov homogène de matrice de transition (P i,j ) vérifiant
P i,i+1 = p ; P i,i−1 = 1 − p ; P i,j = 0 si j = i + 1, i − 1.
Si p =
1
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, la marche aléatoire est symétrique.
Ce modèle peut par exemple décrire le déplacement vertical d’une particule de plancton dans l’océan Atlantique, où la profondeur moyenne est d’environ 3300 m. Si nous
considérons sa position à des temps discrets, nous pouvons supposer que cette particule
se déplace verticalement comme une marche aléatoire unidimensionnelle. La profondeur
est suffisamment grande par rapport à la taille de la cellule pour que le déplacement de
celle-ci soit considéré comme possible sur tout Z.
2) Modèle de dynamique des ressources. A chaque instant n ≥ 0, une quantité R de
ressources est créée et une quantité aléatoire Z n en est consommée par un certain groupe
d’individus. On suppose que les variables aléatoires (Z n ) n sont indépendantes et de même
loi à valeurs entières et l’on note p k = P(Z 1 = k) pour tout entier k. Si l’on note par X n
le niveau des ressources à l’instant n, on obtient la dynamique suivante :
X n = (X n−1 + R − Z n )
+
pour tout n ≥ 1.
La suite (X n ) n forme alors une chaîne de Markov homogène à valeurs dans N, de matrice
de transition (P ij ) vérifiant pour tous i, j ∈ N,
P i,0 = P(Z n ≥ i + R) =
k≥i+R
p k ; P i,j = P(i + R − Z n = j) = p R+i−j si j ≤ R + i − 1 ;
P i,j = 0 sinon.
3) Processus de branchement. Ces modèles ont été introduits pour modéliser les générations successives d’une population. Ils seront développés au Chapitre 3. Désignons par
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