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CHAPITRE 6. PROCESSUS D’ÉVOLUTION GÉNÉTIQUE
Preuve. Sous l’hypothèse (6.3.16), E(Z
N
t+Δt −Z
n
t |Z
N
t = x) est égal à (−β 1 x+(1−x) β 2 ) Δt
et E((Z
N
t+Δt −Z
N
t )
2
|Z
N
t = x) converge vers x (1−x) Δt quand N → ∞. Par des arguments
analogues à ceux du Théorème 6.3.1, nous en déduisons le résultat.
Nous allons maintenant étudier le cas du modèle avec sélection (voir Paragraphe 6.2.4)
sous une hypothèse de sélection rare : nous supposons que
s =
r
N
.
(6.3.18)
Le processus Z
N
t =
1
N
X
N
[Nt] est alors défini à partir du modèle de Wright-Fisher avec
sélection, pour des probabilités de transition définies à partir des probabilités
p i définies
en (6.2.12). Nous avons alors la proposition suivante.
Proposition 6.3.3 Sous l’hypothèse de sélection rare (6.3.18) et si (
1
N
X
N
0 ) N converge en
loi vers Z 0 ∈ [0, 1] quand N → ∞, le processus (
1
N
X
N
[Nt] , t ≥ 0) converge en loi vers la
solution de l’équation différentielle stochastique
Z t = Z 0 +
t
0
Z s (1 − Z s ) dB s +
t
0
rZ s (1 − Z s ) ds.
(6.3.19)
.
Preuve. Nous avons
E(Z
N
t+Δt − Z
N
t |Z
N
t = x) = N
−x
2 s + sx
sx + 1
Δt;
E((Z
N
t+Δt − Z
N
t )
2 |Z
N
t = x) =
x(1 − x) + N (
s
2 x
2 (1 + 2x + x
2 )
(xs + 1) 2
)
Δt.
Ainsi, en supposant (6.3.18), nous obtenons que E(Z
N
t+Δt − Z
N
t |Z
N
t = x) converge vers
rx(1 − x)Δt quand N → ∞ et que E((Z
N
t+Δt − Z
N
t )
2
|Z
N
t = x) converge vers x(1 − x)Δt.
Par des arguments analogues à ceux du Théorème 6.3.1, nous en déduisons le résultat.
Proposition 6.3.4 Considérons maintenant le modèle le plus général avec mutation et
sélection, où les probabilités de transition de (X
N
n , n ∈ N) sont obtenues par (6.2.14).
Plaçons-nous sous les hypothèses de mutation et sélection rares (6.3.16) et (6.3.18). Alors,
si (
1
N
X
N
0 ) N converge en loi vers Z 0 ∈ [0, 1], le processus (Z
N
t , t ≥ 0) défini par
Z
N
t =
1
N
X
N
[Nt] , converge en loi quand N tend vers l’infini vers la solution de l’équation
différentielle stochastique
Z t = Z 0 +
t
0
Z s (1 − Z s ) dB s +
t
0
− β 1 Z s + (1 − Z s ) β 2 + rZ s (1 − Z s )
ds.
(6.3.20)
Remarque 6.3.5 Remarquons que si l’on veut calculer des probabilités de fixation ou
d’extinction d’un allèle, les calculs sont presque impossibles, car trop compliqués sur les
modèles discrets. Ils deviennent accessibles avec les outils du calcul stochastique, comme
nous l’avons vu dans le Chapitre 4 et rappelé à la fin du Paragraphe 6.3.1.
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CHAPITRE 6. PROCESSUS D’ÉVOLUTION GÉNÉTIQUE
Preuve. Sous l’hypothèse (6.3.16), E(Z
N
t+Δt −Z
n
t |Z
N
t = x) est égal à (−β 1 x+(1−x) β 2 ) Δt
et E((Z
N
t+Δt −Z
N
t )
2
|Z
N
t = x) converge vers x (1−x) Δt quand N → ∞. Par des arguments
analogues à ceux du Théorème 6.3.1, nous en déduisons le résultat.
Nous allons maintenant étudier le cas du modèle avec sélection (voir Paragraphe 6.2.4)
sous une hypothèse de sélection rare : nous supposons que
s =
r
N
.
(6.3.18)
Le processus Z
N
t =
1
N
X
N
[Nt] est alors défini à partir du modèle de Wright-Fisher avec
sélection, pour des probabilités de transition définies à partir des probabilités
p i définies
en (6.2.12). Nous avons alors la proposition suivante.
Proposition 6.3.3 Sous l’hypothèse de sélection rare (6.3.18) et si (
1
N
X
N
0 ) N converge en
loi vers Z 0 ∈ [0, 1] quand N → ∞, le processus (
1
N
X
N
[Nt] , t ≥ 0) converge en loi vers la
solution de l’équation différentielle stochastique
Z t = Z 0 +
t
0
Z s (1 − Z s ) dB s +
t
0
rZ s (1 − Z s ) ds.
(6.3.19)
.
Preuve. Nous avons
E(Z
N
t+Δt − Z
N
t |Z
N
t = x) = N
−x
2 s + sx
sx + 1
Δt;
E((Z
N
t+Δt − Z
N
t )
2 |Z
N
t = x) =
x(1 − x) + N (
s
2 x
2 (1 + 2x + x
2 )
(xs + 1) 2
)
Δt.
Ainsi, en supposant (6.3.18), nous obtenons que E(Z
N
t+Δt − Z
N
t |Z
N
t = x) converge vers
rx(1 − x)Δt quand N → ∞ et que E((Z
N
t+Δt − Z
N
t )
2
|Z
N
t = x) converge vers x(1 − x)Δt.
Par des arguments analogues à ceux du Théorème 6.3.1, nous en déduisons le résultat.
Proposition 6.3.4 Considérons maintenant le modèle le plus général avec mutation et
sélection, où les probabilités de transition de (X
N
n , n ∈ N) sont obtenues par (6.2.14).
Plaçons-nous sous les hypothèses de mutation et sélection rares (6.3.16) et (6.3.18). Alors,
si (
1
N
X
N
0 ) N converge en loi vers Z 0 ∈ [0, 1], le processus (Z
N
t , t ≥ 0) défini par
Z
N
t =
1
N
X
N
[Nt] , converge en loi quand N tend vers l’infini vers la solution de l’équation
différentielle stochastique
Z t = Z 0 +
t
0
Z s (1 − Z s ) dB s +
t
0
− β 1 Z s + (1 − Z s ) β 2 + rZ s (1 − Z s )
ds.
(6.3.20)
Remarque 6.3.5 Remarquons que si l’on veut calculer des probabilités de fixation ou
d’extinction d’un allèle, les calculs sont presque impossibles, car trop compliqués sur les
modèles discrets. Ils deviennent accessibles avec les outils du calcul stochastique, comme
nous l’avons vu dans le Chapitre 4 et rappelé à la fin du Paragraphe 6.3.1.
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