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CHAPITRE 6. PROCESSUS D’ÉVOLUTION GÉNÉTIQUE
du processus (Z
N
t , t ≥ 0) sont d’amplitude
1
N
et tendent vers 0 quand N tend vers l’infini.
Ainsi, si le processus converge, sa limite sera continue en temps. Nous avons en fait le
théorème suivant.
Théorème 6.3.1 Si la suite (
1
N
X
N
0 ) N converge en loi vers Z 0 ∈ [0, 1] quand N → ∞,
le processus (
1
N
X
N
[Nt] , t ≥ 0) converge en loi vers la solution de l’équation différentielle
stochastique
Z t = Z 0 +
t
0
Z s (1 − Z s ) dB s ,
(6.3.15)
où (B t , t ≥ 0) est un mouvement brownien standard. L’unicité est obtenue grâce au Théorème 4.6.11 et pour tout t, Z t ∈ [0, 1].
Preuve. La preuve rigoureuse de ce théorème dépasse le cadre de cet ouvrage. Nous en
donnons seulement les grandes idées.
Le processus (Z
N
t − Z
N
0 , t ≥ 0) est une martingale à valeurs dans [0, 1] et pour chaque t,
la variance de Z
N
t − Z
N
0 vaut
t
0
E(Z
N
s (1 − Z
N
s ))ds. On peut montrer la convergence en
loi du processus (Z
N
t , t ∈ [0, T ]), en tant que processus à trajectoires continues à droite
et limitées à gauche sur tout intervalle de temps [0, T ], vers la solution (Z t , t ∈ [0, T ]) de
(6.3.15). La preuve se fait en deux temps :
- Montrer que la suite Z
N admet une valeur d’adhérence ; cela nécéssite des arguments
de relative compacité pour des lois de processus, probabilités sur l’espace fonctionnel des
fonctions continues à droite et limitées à gauche (cf. Billingsley [11] ).
- Montrer que cette valeur d’adhérence est unique. Il faut donc pour cela identifier les
valeurs d’adhérence comme solutions du processus (6.3.15) et montrer qu’il y a unicité en
loi de ce processus. Celle-ci est obtenue à partir du Théorème 4.6.11. L’unicité entraîne
en particulier que si Z atteint les bords, il y reste, c’est-à-dire que les points 0 et 1 sont
absorbants.
La diffusion de Wright-Fisher définie comme solution de (6.3.15) a déjà été introduite à
titre d’exemple au Paragraphe 4.7.5. Dans ce paragraphe a été étudié le temps d’absorption dont la moyenne a été donnée en (4.7.32) :
E z (T 0 ∧ T 1 ) = −2(z log z + (1 − z) log(1 − z)).
Cette formule peut-être comparée avec la formule approchée obtenue pour la chaîne de
Markov de Wright-Fisher obtenue à la Proposition 6.2.10.
6.3.2 Diffusion de Wright-Fisher avec mutation ou sélection
Reprenons les calculs précédents, dans le cas d’un modèle de Wright-Fisher avec mutation,
avec les paramètres introduits au Paragraphe 6.2.3. Dans ce cas et si X
N
n = i, la probabilité
1
CHAPITRE 6. PROCESSUS D’ÉVOLUTION GÉNÉTIQUE
du processus (Z
N
t , t ≥ 0) sont d’amplitude
1
N
et tendent vers 0 quand N tend vers l’infini.
Ainsi, si le processus converge, sa limite sera continue en temps. Nous avons en fait le
théorème suivant.
Théorème 6.3.1 Si la suite (
1
N
X
N
0 ) N converge en loi vers Z 0 ∈ [0, 1] quand N → ∞,
le processus (
1
N
X
N
[Nt] , t ≥ 0) converge en loi vers la solution de l’équation différentielle
stochastique
Z t = Z 0 +
t
0
Z s (1 − Z s ) dB s ,
(6.3.15)
où (B t , t ≥ 0) est un mouvement brownien standard. L’unicité est obtenue grâce au Théorème 4.6.11 et pour tout t, Z t ∈ [0, 1].
Preuve. La preuve rigoureuse de ce théorème dépasse le cadre de cet ouvrage. Nous en
donnons seulement les grandes idées.
Le processus (Z
N
t − Z
N
0 , t ≥ 0) est une martingale à valeurs dans [0, 1] et pour chaque t,
la variance de Z
N
t − Z
N
0 vaut
t
0
E(Z
N
s (1 − Z
N
s ))ds. On peut montrer la convergence en
loi du processus (Z
N
t , t ∈ [0, T ]), en tant que processus à trajectoires continues à droite
et limitées à gauche sur tout intervalle de temps [0, T ], vers la solution (Z t , t ∈ [0, T ]) de
(6.3.15). La preuve se fait en deux temps :
- Montrer que la suite Z
N admet une valeur d’adhérence ; cela nécéssite des arguments
de relative compacité pour des lois de processus, probabilités sur l’espace fonctionnel des
fonctions continues à droite et limitées à gauche (cf. Billingsley [11] ).
- Montrer que cette valeur d’adhérence est unique. Il faut donc pour cela identifier les
valeurs d’adhérence comme solutions du processus (6.3.15) et montrer qu’il y a unicité en
loi de ce processus. Celle-ci est obtenue à partir du Théorème 4.6.11. L’unicité entraîne
en particulier que si Z atteint les bords, il y reste, c’est-à-dire que les points 0 et 1 sont
absorbants.
La diffusion de Wright-Fisher définie comme solution de (6.3.15) a déjà été introduite à
titre d’exemple au Paragraphe 4.7.5. Dans ce paragraphe a été étudié le temps d’absorption dont la moyenne a été donnée en (4.7.32) :
E z (T 0 ∧ T 1 ) = −2(z log z + (1 − z) log(1 − z)).
Cette formule peut-être comparée avec la formule approchée obtenue pour la chaîne de
Markov de Wright-Fisher obtenue à la Proposition 6.2.10.
6.3.2 Diffusion de Wright-Fisher avec mutation ou sélection
Reprenons les calculs précédents, dans le cas d’un modèle de Wright-Fisher avec mutation,
avec les paramètres introduits au Paragraphe 6.2.3. Dans ce cas et si X
N
n = i, la probabilité
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