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CHAPITRE 6. PROCESSUS D’ÉVOLUTION GÉNÉTIQUE
répartition de l’allèle A à la génération n. Si il y a i copies de l’allèle A à la génération n,
cette répartition est donnée par
p i =
i(1 − α 1 ) + (N − i)α 2
N
.
(6.2.10)
Dans ce cas, X
N
n+1 suit une loi binomiale B(N, p i ), et on a
P(X
N
n+1 = j|X
N
n = i) =
N
j
(p i )
j (1 − p i )
N −j .
(6.2.11)
La chaîne de Markov a un comportement en temps long très différent de celui du cas
neutre. En effet si α 1 > 0 et α 2 > 0, il n’y a pas possibilité d’avoir fixation. Comme la
chaîne est à support fini, elle possède une unique probabilité invariante non triviale π,
solution de
N
i=0 π i P i,j = π j , dans le cas où P i,j est donné par (6.2.11).
6.2.4 Processus de Wright-Fisher avec sélection
Nous supposons ici que l’allèle A a un avantage sélectif sur l’allèle a, au sens où une copie
portant l’allèle A a plus de chance de se répliquer (sa fertilité est plus grande). Soit s > 0
le paramètre décrivant cet avantage. Si à la génération n, il y a i individus possédant
l’allèle A, l’avantage sélectif est modélisé par le fait que la probabilité d’obtention de
l’allèle A est donnée par
p i =
(1 + s) i
(1 + s) i + N − i
≥
i
N
.
(6.2.12)
Nous aurons alors
P(X
N
n+1 = j|X
N
n = i) =
N
j
( p i )
j (1 −
p i )
N −j .
(6.2.13)
Nous pouvons de même modéliser un allèle défavorable ou délétère par un désavantage
sélectif : dans ce cas s < 0.
Plus généralement, nous pouvons également définir un modèle de Wright-Fisher avec
sélection et mutation. Dans ce cas, le choix du parent est fait en donnant un avantage
sélectif à un porteur de l’allèle A et tout individu peut subir une mutation à sa naissance
comme cela a été décrit au Paragraphe 6.2.3. Nous supposons donc que
¯
p i =
[(1 + s) i (1 − α 1 )] + (N − i) α 2
(1 + s) i + N − i
.
(6.2.14)
Remarquons que la différence ¯
p i −
i
N
de la fraction d’allèles A à la fin du cycle de la nième génération exprime la différence due à la sélection et à la mutation. Les fluctuations
statistiques liées à la taille finie de la population apparaissent à travers le comportement
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CHAPITRE 6. PROCESSUS D’ÉVOLUTION GÉNÉTIQUE
répartition de l’allèle A à la génération n. Si il y a i copies de l’allèle A à la génération n,
cette répartition est donnée par
p i =
i(1 − α 1 ) + (N − i)α 2
N
.
(6.2.10)
Dans ce cas, X
N
n+1 suit une loi binomiale B(N, p i ), et on a
P(X
N
n+1 = j|X
N
n = i) =
N
j
(p i )
j (1 − p i )
N −j .
(6.2.11)
La chaîne de Markov a un comportement en temps long très différent de celui du cas
neutre. En effet si α 1 > 0 et α 2 > 0, il n’y a pas possibilité d’avoir fixation. Comme la
chaîne est à support fini, elle possède une unique probabilité invariante non triviale π,
solution de
N
i=0 π i P i,j = π j , dans le cas où P i,j est donné par (6.2.11).
6.2.4 Processus de Wright-Fisher avec sélection
Nous supposons ici que l’allèle A a un avantage sélectif sur l’allèle a, au sens où une copie
portant l’allèle A a plus de chance de se répliquer (sa fertilité est plus grande). Soit s > 0
le paramètre décrivant cet avantage. Si à la génération n, il y a i individus possédant
l’allèle A, l’avantage sélectif est modélisé par le fait que la probabilité d’obtention de
l’allèle A est donnée par
p i =
(1 + s) i
(1 + s) i + N − i
≥
i
N
.
(6.2.12)
Nous aurons alors
P(X
N
n+1 = j|X
N
n = i) =
N
j
( p i )
j (1 −
p i )
N −j .
(6.2.13)
Nous pouvons de même modéliser un allèle défavorable ou délétère par un désavantage
sélectif : dans ce cas s < 0.
Plus généralement, nous pouvons également définir un modèle de Wright-Fisher avec
sélection et mutation. Dans ce cas, le choix du parent est fait en donnant un avantage
sélectif à un porteur de l’allèle A et tout individu peut subir une mutation à sa naissance
comme cela a été décrit au Paragraphe 6.2.3. Nous supposons donc que
¯
p i =
[(1 + s) i (1 − α 1 )] + (N − i) α 2
(1 + s) i + N − i
.
(6.2.14)
Remarquons que la différence ¯
p i −
i
N
de la fraction d’allèles A à la fin du cycle de la nième génération exprime la différence due à la sélection et à la mutation. Les fluctuations
statistiques liées à la taille finie de la population apparaissent à travers le comportement
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