6.2. POPULATION FINIE : LE MODÈLE DE WRIGHT-FISHER
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Il est facile de voir que les variables aléatoires η k sont échangeables, que
N
k=1 η k = N et
que (η 1 , · · · , η N ) suit une loi multinomiale Multinom(N,
1
N
, · · · ,
1
N
). Nous déduisons de
cette échangeabilité que
R j (i) =
σ∈Si,n1+···+ni=j
E(η
n1
σ(1) · · · η
ni
σ(i) ) =
j
k=1
i(i − 1) · · · (i − k +1)
n1+···+n k =j
E(η
n1
1 · · · η
n k
k ),
où l’on a regroupé les permutations de support à k ≤ i éléments. Le terme dominant
de R j (X) est alors a jj = E(η 1 η 2 · · · η j ). Les valeurs propres de P autres que 1 sont donc
données par ces valeurs.
Calculons α 2 . Puisque η 1 + · · · + η N = N , nous avons par échangeabilité
N
2 =
N
i=1
E(η
2
i ) +
N
i,j=1
E(η i η j ) = N E(η
2
1 ) + N (N − 1)E(η 1 η 2 ).
Or η 1 suit une loi binomiale B(N,
1
N
), d’où E(η
2
1 ) = V ar(η 1 ) + 1 = 2 −
1
N
. Ainsi,
α 2 = E(η 1 η 2 ) = 1 −
1
N
.
6.2.3 Processus de Wright-Fisher avec mutation
Supposons maintenant qu’au cours de la reproduction, il y ait des mutations de l’allèle
A vers l’allèle a avec probabilité α 1 et de l’allèle a vers l’allèle A avec probabilité α 2 . Le
modèle est toujours supposé neutre ; les deux allèles ont donc le même avantage sélectif.
Le parent d’un individu est toujours choisi uniformément au hasard dans la génération
précédente, mais si ce parent est d’allèle A, l’individu hérite de l’allèle A avec probabilité
1−α 1 ou subit une mutation et porte l’allèle a avec probabilité α 1 . Si ce parent est d’allèle
a, l’individu hérite de l’allèle a avec probabilité 1 − α 2 ou subit une mutation et porte
l’allèle A avec probabilité α 2 .
Si (X
N
n ) n est le processus décrivant le nombre d’allèles A à la génération n, la loi de
X
N
n+1 est une loi binomiale de paramètres qui dépendent comme précédemment de la
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