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CHAPITRE 6. PROCESSUS D’ÉVOLUTION GÉNÉTIQUE
Sommant sur j ∈ {1, · · · , N − 1}, nous en déduisons que
λ
−n
0 P i (τ > n) = v i +
O(ρ
n )
λ
n
0
.
Il s’en suit que pour tous i, j ∈ {1, · · · , N − 1},
P i (X
N
n = j |τ > n) =
P i (X
N
n = j)
P i (τ > n)
− −− →
n→∞
u j .
Ainsi la limite de Yaglom existe et est égale à u. C’est une distribution quasi-stationnaire,
comme prouvé à la Proposition 3.4.4. Pour toute distribution initiale ν sur {1, · · · , N −1},
lim
n→∞
P ν (X
N
n = j |τ > n) =
i∈{1,··· ,N −1}
ν i lim
n→∞
P i (X
N
n = j |τ > n) − −− →
n→∞
i∈{1,··· ,N −1}
ν i u j = u j .
C’est en particulier vrai pour toute distribution quasi-stationnaire μ. Nous en déduisons
donc qu’alors μ j = u j pour tout j et que la limite de Yaglom u est l’unique distribution
quasi-stationnaire de X
N .
Remarquons que par la Proposition 3.4.6, nous avons également que
i∈{1,··· ,N −1} u i P i (τ >
n) = ρ(u)
n . Cette quantité est aussi égale à λ
n
0 , et donc ρ(u) = λ 0 .
Le Lemme 6.2.12 ci-dessous nous donne ce taux d’extinction pour la chaîne de WrightFisher, qui vaut λ 0 = 1 −
1
N
.
Nous en déduisons immédiatement (6.2.8) et (6.2.9).
Lemme 6.2.12 Les valeurs propres de la matrice de transition P de X
N , rangées par
ordre décroissant, sont 1, 1 et α j = E(η 1 η 2 · · · η j ) pour 2 ≤ j ≤ N , où pour tout k ∈
{1, · · · , N}, la variable aléatoire η k désigne le nombre des descendants de l’individu k. En
particulier,
α 2 = E(η 1 η 2 ) = 1 −
1
N
.
Preuve. La preuve est adaptée de Lambert [53]. Il est clair que 1 est valeur propre double,
correspondant aux deux vecteurs propres (1, 0, · · · , 0) et (0, · · · , 0, 1). Introduisons la
matrice inversible Z de taille (N + 1) × (N + 1) définie par z ij = i
j pour 0 ≤ i, j ≤ N . Il
existe une matrice triangulaire A, telle que a 00 = 1 et a jj = E(η 1 η 2 · · · η j ) pour 1 ≤ j ≤ N
et P = ZAZ
−1 . En effet, il suffit d’écrire
N
k=0
P i,k k
j =
j
k=0
i
k a kj ⇐⇒ E i ((X
N
1 )
j ) = R j (i),
où R j polynôme de degré j. Or, E i ((X
N
1 )
j ) = E((η 1 + η 2 · · · + η i )
j ).
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CHAPITRE 6. PROCESSUS D’ÉVOLUTION GÉNÉTIQUE
Sommant sur j ∈ {1, · · · , N − 1}, nous en déduisons que
λ
−n
0 P i (τ > n) = v i +
O(ρ
n )
λ
n
0
.
Il s’en suit que pour tous i, j ∈ {1, · · · , N − 1},
P i (X
N
n = j |τ > n) =
P i (X
N
n = j)
P i (τ > n)
− −− →
n→∞
u j .
Ainsi la limite de Yaglom existe et est égale à u. C’est une distribution quasi-stationnaire,
comme prouvé à la Proposition 3.4.4. Pour toute distribution initiale ν sur {1, · · · , N −1},
lim
n→∞
P ν (X
N
n = j |τ > n) =
i∈{1,··· ,N −1}
ν i lim
n→∞
P i (X
N
n = j |τ > n) − −− →
n→∞
i∈{1,··· ,N −1}
ν i u j = u j .
C’est en particulier vrai pour toute distribution quasi-stationnaire μ. Nous en déduisons
donc qu’alors μ j = u j pour tout j et que la limite de Yaglom u est l’unique distribution
quasi-stationnaire de X
N .
Remarquons que par la Proposition 3.4.6, nous avons également que
i∈{1,··· ,N −1} u i P i (τ >
n) = ρ(u)
n . Cette quantité est aussi égale à λ
n
0 , et donc ρ(u) = λ 0 .
Le Lemme 6.2.12 ci-dessous nous donne ce taux d’extinction pour la chaîne de WrightFisher, qui vaut λ 0 = 1 −
1
N
.
Nous en déduisons immédiatement (6.2.8) et (6.2.9).
Lemme 6.2.12 Les valeurs propres de la matrice de transition P de X
N , rangées par
ordre décroissant, sont 1, 1 et α j = E(η 1 η 2 · · · η j ) pour 2 ≤ j ≤ N , où pour tout k ∈
{1, · · · , N}, la variable aléatoire η k désigne le nombre des descendants de l’individu k. En
particulier,
α 2 = E(η 1 η 2 ) = 1 −
1
N
.
Preuve. La preuve est adaptée de Lambert [53]. Il est clair que 1 est valeur propre double,
correspondant aux deux vecteurs propres (1, 0, · · · , 0) et (0, · · · , 0, 1). Introduisons la
matrice inversible Z de taille (N + 1) × (N + 1) définie par z ij = i
j pour 0 ≤ i, j ≤ N . Il
existe une matrice triangulaire A, telle que a 00 = 1 et a jj = E(η 1 η 2 · · · η j ) pour 1 ≤ j ≤ N
et P = ZAZ
−1 . En effet, il suffit d’écrire
N
k=0
P i,k k
j =
j
k=0
i
k a kj ⇐⇒ E i ((X
N
1 )
j ) = R j (i),
où R j polynôme de degré j. Or, E i ((X
N
1 )
j ) = E((η 1 + η 2 · · · + η i )
j ).
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