6.2. POPULATION FINIE : LE MODÈLE DE WRIGHT-FISHER
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6.2.2 Distribution quasi-stationnaire pour un processus de WrightFisher
Nous avons vu que les points 0 et N sont absorbants pour la chaîne de Markov (X
N
n ) n .
Nous allons pouvoir, comme dans le cas du processus de Galton-Watson, étudier les distributions quasi-stationnaires en conditionnant par la non-atteinte de l’ensemble absorbant
{0, N}. (Voir Paragraphe 4.4). Comme précédemment nous notons par τ = T 0 ∧ T N le
temps d’absorption.
Les distributions quasi-stationnaires pour une chaîne de Markov avec espace d’état fini
sont étudiées par Darroch et Seneta [29]. Nous renvoyons également à [57] et à [53], où le
processus de Wright-Fisher est considéré comme cas particulier des modèles de Cannings.
Théorème 6.2.11 La limite de Yaglom u = (u i )
N −1
i=1 de la chaîne de Wright-Fisher existe
et est l’unique distribution quasi-stationnaire du processus (X
N
n ) n . C’est une probabilité sur
{1, · · · , N − 1}, i.e. un vecteur de nombres positifs (u 1 , · · · , u N −1 ) telle que
N −1
i=1 u i = 1.
De plus, le taux d’extinction ρ(u) associé à u (voir Proposition 3.4.6) est égal à 1 −
1
N
et il existe un unique vecteur v, tel que (u 1 v 1 , · · · , u N −1 v N −1 ) est une probabilité sur
{1, · · · , N − 1} et pour tous i, j ∈ {1, · · · , N − 1},
lim
n→∞
1 −
1
N
n P i (X
N
n = j) = v i u j .
(6.2.8)
et
lim
n→∞
P i (τ > n + m)
P j (τ > n)
=
v i
v j
1 −
1
N
m .
(6.2.9)
Remarquons que P(τ > n) peut décroître très lentement si N est grand.
Preuve. La preuve est une conséquence du théorème de Perron-Frobenius (voir Thérème
3.7.7) dont nous reprenons les notations. Nous considérons la restriction de la matrice
P = (P i,j ) définie en (6.2.3) à i, j ∈ {1, · · · , N − 1}. Elle a des entrées strictement
positives. Le théorème de Perron-Frobenius nous dit alors qu’il existe λ 0 > 0 et une
probabilité u sur {1, · · · , N − 1} telle que pour tous i, j ∈ {1, · · · , N − 1},
λ
−n
0 P i (X
N
n = j) = λ
−n
0 P
n
i,j = v i u j + λ
−n
0 B
n
i,j ,
et aucun des éléments de la matrice B
n n’excède ρ
n , où 0 < ρ < λ 0 . De plus,
N −1
j=1 P i,j < 1
(pour tout i) entraîne que λ 0 < 1. En effet, soit i 0 tel que v i0 = sup i v i . Comme v est un
vecteur propre à droite de P associé à λ 0 , nous avons
λ 0 v i0 =
N −1
j=1
P i0,j v j ≤ v i0
N −1
j=1
P i0,j < v i0 .
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6.2.2 Distribution quasi-stationnaire pour un processus de WrightFisher
Nous avons vu que les points 0 et N sont absorbants pour la chaîne de Markov (X
N
n ) n .
Nous allons pouvoir, comme dans le cas du processus de Galton-Watson, étudier les distributions quasi-stationnaires en conditionnant par la non-atteinte de l’ensemble absorbant
{0, N}. (Voir Paragraphe 4.4). Comme précédemment nous notons par τ = T 0 ∧ T N le
temps d’absorption.
Les distributions quasi-stationnaires pour une chaîne de Markov avec espace d’état fini
sont étudiées par Darroch et Seneta [29]. Nous renvoyons également à [57] et à [53], où le
processus de Wright-Fisher est considéré comme cas particulier des modèles de Cannings.
Théorème 6.2.11 La limite de Yaglom u = (u i )
N −1
i=1 de la chaîne de Wright-Fisher existe
et est l’unique distribution quasi-stationnaire du processus (X
N
n ) n . C’est une probabilité sur
{1, · · · , N − 1}, i.e. un vecteur de nombres positifs (u 1 , · · · , u N −1 ) telle que
N −1
i=1 u i = 1.
De plus, le taux d’extinction ρ(u) associé à u (voir Proposition 3.4.6) est égal à 1 −
1
N
et il existe un unique vecteur v, tel que (u 1 v 1 , · · · , u N −1 v N −1 ) est une probabilité sur
{1, · · · , N − 1} et pour tous i, j ∈ {1, · · · , N − 1},
lim
n→∞
1 −
1
N
n P i (X
N
n = j) = v i u j .
(6.2.8)
et
lim
n→∞
P i (τ > n + m)
P j (τ > n)
=
v i
v j
1 −
1
N
m .
(6.2.9)
Remarquons que P(τ > n) peut décroître très lentement si N est grand.
Preuve. La preuve est une conséquence du théorème de Perron-Frobenius (voir Thérème
3.7.7) dont nous reprenons les notations. Nous considérons la restriction de la matrice
P = (P i,j ) définie en (6.2.3) à i, j ∈ {1, · · · , N − 1}. Elle a des entrées strictement
positives. Le théorème de Perron-Frobenius nous dit alors qu’il existe λ 0 > 0 et une
probabilité u sur {1, · · · , N − 1} telle que pour tous i, j ∈ {1, · · · , N − 1},
λ
−n
0 P i (X
N
n = j) = λ
−n
0 P
n
i,j = v i u j + λ
−n
0 B
n
i,j ,
et aucun des éléments de la matrice B
n n’excède ρ
n , où 0 < ρ < λ 0 . De plus,
N −1
j=1 P i,j < 1
(pour tout i) entraîne que λ 0 < 1. En effet, soit i 0 tel que v i0 = sup i v i . Comme v est un
vecteur propre à droite de P associé à λ 0 , nous avons
λ 0 v i0 =
N −1
j=1
P i0,j v j ≤ v i0
N −1
j=1
P i0,j < v i0 .
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