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CHAPITRE 6. PROCESSUS D’ÉVOLUTION GÉNÉTIQUE
Pour avoir une idée du temps qu’il faut pour avoir fixation, étudions la probabilité que
deux copies d’un même locus choisies au hasard (sans remise) portent des allèles différents (hétérozygotie). Soit h(n) cette probabilité, dans le cas où ces copies sont choisies
dans la n-ième génération. Calculons tout d’abord la probabilité d’avoir l’hétérozygotie,
conditionnellement à la connaissance de X
N
n = i. Elle vaut
H n (i) =
i
1
N −i
1
N
2
=
2i(N − i)
N (N − 1)
.
Plus généralement, H n est la variable aléatoire
H n =
X N
n
1
N −X N
n )
1
N
2
=
2X
N
n (N − X
N
n )
N (N − 1)
et par (6.2.2),
H n =
2
(N − 1)
V ar(X
N
n+1 | X
N
n ).
Nous pouvons alors montrer que
Proposition 6.2.8
h(n) = E(H n ) =
1 −
1
N
n
E(H 0 ).
(6.2.7)
Cette proposition nous donne la vitesse de décroissance (exponentielle) de l’hétérozygotie
en fonction du temps.
Preuve. Ecrivons E(H n ) en fonction de E(H n−1 ). Nous savons que E(X
N
n ) = E(X
N
n−1 ).
De plus,
E((X
N
n )
2 | X
N
n−1 ) = V ar(X
N
n | X
N
n−1 ) + (E(X
N
n | X
N
n−1 ))
2 =
(N − 1)H n−1
2
+ (X
N
n−1 )
2 .
Nous en déduisons facilement que
E(H n ) =
2
N (N − 1)
E(NX
N
n−1 − (X
N
n−1 )
2 ) −
(N − 1)E(H n−1 )
2
=
1 −
1
N
E(H n−1 ).
Remarquons que si l’on part avec une seule copie d’allèle A, alors X
N
0 = 1, et H 0 =
2
N
.
Ainsi, h(0) =
2
N
, et dans ce cas, grâce à (6.2.7), la probabilité qu’à la génération n, deux
copies choisies au hasard aient deux allèles différents vaut
2
N
1 −
1
N
n .
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