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CHAPITRE 6. PROCESSUS D’ÉVOLUTION GÉNÉTIQUE
Théorème 6.2.4 La suite (X
N
n ) n∈N est une chaîne de Markov à espace d’états fini et est
une martingale bornée. La matrice de transition P de la chaîne est donnée pour tous i et
j dans {0, . . . , N} par
P i,j =
N
j
i
N
j
1 −
i
N
N −j
.
(6.2.3)
Les états 0 et N sont deux états absorbants pour la chaîne.
Preuve. Par définition, le processus (X
N
n , n ≥ 0) prend ses valeurs dans l’ensemble fini
{0, . . . , N}. Il est évident que ce processus définit une chaîne de Markov puisque la loi de
X
N
n+1 conditionnellement au passé jusqu’au temps n, ne dépend que de X
N
n . La forme de
la matrice de transition a été calculée à la Proposition 6.2.1.
De plus, en reprenant les calculs de la Remarque 6.2.3 et si F n désigne la filtration
engendrée par X
N
0 , . . . , X
N
n , on a
E(X
N
n+1 |F n ) =
N
j=0
j P(X
N
n+1 = j|F n )
=
N
j=0
j P(X
N
n+1 = j|X
N
n ) =
N
j=0
j
N
j
X
N
n
N
j
1 −
X
N
n
N
N −j
= N
X
N
n
N
= X
N
n .
Ainsi, le processus (X
N
n ) n est une martingale, bornée par N .
Il est évident que les états 0 et N sont absorbants. (voir (6.2.1)).
Remarque 6.2.5 Le processus (X
N
n ) n est une martingale et donc, dans ce modèle neutre,
la taille de la population d’allèle A est constante en moyenne : il n’y a pas d’avantage
sélectif pour un allèle. Nous verrons au Paragraphe 6.2.4 comment la sélection influe sur
cette dynamique.
Nous allons étudier comment les allèles se fixent dans la population d’individus de taille
N , quand le nombre de générations n tend vers l’infini.
Théorème 6.2.6 Quand n tend vers l’infini, la suite de variables aléatoires (X
N
n ) n converge
presque-sûrement vers une variable aléatoire X
N
∞ et
X
N
∞ ∈ {0, N}.
(6.2.4)
De plus,
P i (X
N
∞ = N ) =
i
N
=
1
N
E(X
N
∞ | X
N
0 = i).
(6.2.5)
0
CHAPITRE 6. PROCESSUS D’ÉVOLUTION GÉNÉTIQUE
Théorème 6.2.4 La suite (X
N
n ) n∈N est une chaîne de Markov à espace d’états fini et est
une martingale bornée. La matrice de transition P de la chaîne est donnée pour tous i et
j dans {0, . . . , N} par
P i,j =
N
j
i
N
j
1 −
i
N
N −j
.
(6.2.3)
Les états 0 et N sont deux états absorbants pour la chaîne.
Preuve. Par définition, le processus (X
N
n , n ≥ 0) prend ses valeurs dans l’ensemble fini
{0, . . . , N}. Il est évident que ce processus définit une chaîne de Markov puisque la loi de
X
N
n+1 conditionnellement au passé jusqu’au temps n, ne dépend que de X
N
n . La forme de
la matrice de transition a été calculée à la Proposition 6.2.1.
De plus, en reprenant les calculs de la Remarque 6.2.3 et si F n désigne la filtration
engendrée par X
N
0 , . . . , X
N
n , on a
E(X
N
n+1 |F n ) =
N
j=0
j P(X
N
n+1 = j|F n )
=
N
j=0
j P(X
N
n+1 = j|X
N
n ) =
N
j=0
j
N
j
X
N
n
N
j
1 −
X
N
n
N
N −j
= N
X
N
n
N
= X
N
n .
Ainsi, le processus (X
N
n ) n est une martingale, bornée par N .
Il est évident que les états 0 et N sont absorbants. (voir (6.2.1)).
Remarque 6.2.5 Le processus (X
N
n ) n est une martingale et donc, dans ce modèle neutre,
la taille de la population d’allèle A est constante en moyenne : il n’y a pas d’avantage
sélectif pour un allèle. Nous verrons au Paragraphe 6.2.4 comment la sélection influe sur
cette dynamique.
Nous allons étudier comment les allèles se fixent dans la population d’individus de taille
N , quand le nombre de générations n tend vers l’infini.
Théorème 6.2.6 Quand n tend vers l’infini, la suite de variables aléatoires (X
N
n ) n converge
presque-sûrement vers une variable aléatoire X
N
∞ et
X
N
∞ ∈ {0, N}.
(6.2.4)
De plus,
P i (X
N
∞ = N ) =
i
N
=
1
N
E(X
N
∞ | X
N
0 = i).
(6.2.5)
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