5.7. EXERCICES
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On admettra que pour tout t ≥ 0, ¯
P t s’écrit sous la forme
¯
P t = e
−θ t A + O(e
−χt ),
(5.7.50)
où A est la matrice de coefficients A i,j = v i u j , χ > θ
et O(e
−χt ) est une matrice dont
les entrées ne dépassent pas Ce
−χt pour une constante C donnée. Nous allons utiliser ce
résultat pour obtenir le comportement avant extinction de Z.
4-a - Soit i ∈ {1, . . . , N}. En utilisant (5.7.50), donner un équivalent de P i (T 0 > t) lorsque
t → ∞. (Indication : quelles sont les valeurs que peut prendre Z t lorsque T 0 > t ?)
4-b - En déduire que pour tous i, j ∈ {1, . . . , N},
lim
t→∞
P i (Z t = j | T 0 > t) = u j .
5 - Nous allons montrer dans cette question que u = (u 1 , . . . , u N ) est une distribution
quasi-stationnaire pour Z.
5-a - Montrer que pour tous s, t ≥ 0 et tout j = 0, on a
P u (Z t+s = j | T 0 > t + s) =
N
i=1
P u (Z t = i | T 0 > t) P i (Z s = j)
P u (T 0 > t)
P u (T 0 > t + s)
. (5.7.51)
5-b - Montrer en découpant selon les valeurs possibles de Z t que
lim
t→∞
P u (T 0 > t + s | T 0 > t) = P u (T 0 > s).
5-c - En faisant tendre t vers l’infini dans (5.7.51), montrer que u est bien une distribution
quasi-stationnaire pour Z.
5-d - En se rappelant la notation de la question 2-b), donner une expression de θ(u).
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