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CHAPITRE 5. PROCESSUS DE POPULATION EN TEMPS CONTINU
sous laquelle la valeur initiale Z 0 a pour loi ν.
1 - Donner un exemple de situation biologique dans laquelle il semble pertinent de représenter la population par un processus de Markov à espace d’états fini et absorbé en
0.
2 - On rappelle qu’une distribution α est dite quasi-stationnaire pour Z si pour tout t ≥ 0
et tout j ∈ {1, . . . , N},
N
i=1
α(i) P i (Z t = j | Z t > 0) = α(j).
2-a - Supposons que Z admette une distribution quasi-stationnaire α. Montrer que pour
tous s, t ≥ 0 et j ∈ {1, . . . , N}, on a
P α (T 0 > t + s, Z t = j) = P α (T 0 > t + s | Z t = j) P α (Z t = j | T 0 > t) P α (T 0 > t).
En déduire que
P α (T 0 > t + s) = P α (T 0 > t) P α (T 0 > s).
2-b - En déduire que si Z 0 a pour loi α, alors le temps d’extinction de Z suit une loi
exponentielle dont on notera θ(α) le paramètre.
Dans la suite, on note ¯
P t la matrice de coefficients ¯
P t (i, j) = P i (X t = j) pour tous
i, j ∈ {1, . . . , N} (on remarquera que la matrice ¯
P t de taille N × N est obtenue à partir
de P t en oubliant l’état 0). On suppose que ¯
P 1 a ses entrées strictement positives et que
P i (Z 1 = 0) > 0 pour tout i.
3-a - Justifier que pour tout i ∈ {1, . . . , N},
N
j=1
¯
P 1 (i, j) < 1.
3-b - Montrer que le Théorème de Perron-Frobenius (Théorème 3.7.7 ) s’applique et qu’il
existe
• une unique valeur propre réelle λ 0 > 0, supérieure en module à toutes les autres (réelles
ou complexes),
• un unique vecteur propre à gauche u et un unique vecteur propre à droite v tels que
u i > 0, v i > 0 pour tout i et tels que
N
i=1 u i = 1 et
N
i=1 u i v i = 1,
satisfaisant
N
i=1
u i ¯
P 1 (j, i) = λ 0 u j ∀j ∈ {1, . . . , N}
et
N
j=1
¯
P 1 (i, j)v j = λ 0 v i ∀i ∈ {1, . . . , N}.
3-c - Justifier que λ 0 < 1. Il peut donc s’écrire λ 0 = e
−θ , pour un réel θ
> 0.
0
CHAPITRE 5. PROCESSUS DE POPULATION EN TEMPS CONTINU
sous laquelle la valeur initiale Z 0 a pour loi ν.
1 - Donner un exemple de situation biologique dans laquelle il semble pertinent de représenter la population par un processus de Markov à espace d’états fini et absorbé en
0.
2 - On rappelle qu’une distribution α est dite quasi-stationnaire pour Z si pour tout t ≥ 0
et tout j ∈ {1, . . . , N},
N
i=1
α(i) P i (Z t = j | Z t > 0) = α(j).
2-a - Supposons que Z admette une distribution quasi-stationnaire α. Montrer que pour
tous s, t ≥ 0 et j ∈ {1, . . . , N}, on a
P α (T 0 > t + s, Z t = j) = P α (T 0 > t + s | Z t = j) P α (Z t = j | T 0 > t) P α (T 0 > t).
En déduire que
P α (T 0 > t + s) = P α (T 0 > t) P α (T 0 > s).
2-b - En déduire que si Z 0 a pour loi α, alors le temps d’extinction de Z suit une loi
exponentielle dont on notera θ(α) le paramètre.
Dans la suite, on note ¯
P t la matrice de coefficients ¯
P t (i, j) = P i (X t = j) pour tous
i, j ∈ {1, . . . , N} (on remarquera que la matrice ¯
P t de taille N × N est obtenue à partir
de P t en oubliant l’état 0). On suppose que ¯
P 1 a ses entrées strictement positives et que
P i (Z 1 = 0) > 0 pour tout i.
3-a - Justifier que pour tout i ∈ {1, . . . , N},
N
j=1
¯
P 1 (i, j) < 1.
3-b - Montrer que le Théorème de Perron-Frobenius (Théorème 3.7.7 ) s’applique et qu’il
existe
• une unique valeur propre réelle λ 0 > 0, supérieure en module à toutes les autres (réelles
ou complexes),
• un unique vecteur propre à gauche u et un unique vecteur propre à droite v tels que
u i > 0, v i > 0 pour tout i et tels que
N
i=1 u i = 1 et
N
i=1 u i v i = 1,
satisfaisant
N
i=1
u i ¯
P 1 (j, i) = λ 0 u j ∀j ∈ {1, . . . , N}
et
N
j=1
¯
P 1 (i, j)v j = λ 0 v i ∀i ∈ {1, . . . , N}.
3-c - Justifier que λ 0 < 1. Il peut donc s’écrire λ 0 = e
−θ , pour un réel θ
> 0.
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