5.7. EXERCICES
III.1 - On note T x = inf{t ≥ 0 : Y t = x} pour x ≥ 0.
a - Montrer que α = sup{IP x (Y 1 > 0) : x ∈ [0, 2]} < 1 et que pour tout n ∈ N,
P 1 (Y n+1 > 0, Y n < 2, Y n−1 < 2, ....Y 1 < 2) ≤ α
n+1 .
En déduire que P 1 (T 0 = ∞, T 2 = ∞) = 0.
b - Montrer en utilisant la partie précédente que
IP 1 (T 2 < T 0 ) ≥ 1 − exp(−
1
σ 2 ) > 0.
Si la population d’insectes atteint la taille 2, elle se divise en deux sous-populations
de taille 1 à cause de contraintes de ressources. Les deux populations évoluent alors
indépendamment suivant des diffusions de Feller de paramètre σ issues de 1. Celles-ci, de
manière similaire, s’éteignent ou atteignent le niveau 2 et se séparent de nouveau en deux
sous-populations de taille 1, etc.
III.2 - On considère le processus de Galton-Watson Z n où chaque individu meurt avec
probabilité 1 − p et a deux enfants avec probabilité p, où p = IP 1 (T 2 < T 0 ).
Justifier que la probabilité que le nombre de sous-populations d’insectes en vie atteigne
zéro en temps fini est la probabilité d’extinction du processus Z n .
III.3 - Quelle est la probabilité que la taille totale de la population d’insectes (obtenue en
sommant sur les tailles de chaque sous-population) tende vers l’infini en temps infini ?
Que dire alors du comportement asymptotique du nombre de populations présentes ?
Exercice 5.7.10
Comportement quasi-stationnaire de certains processus
Le but de ce problème est de comprendre le comportement en temps long de certains
processus markoviens. Par exemple, il a été vu en cours qu’un processus de Galton-Watson
sous-critique s’éteint en temps fini avec probabilité 1, mais que le conditionner à survivre
pendant un long temps permet d’obtenir une distribution quasi-stationnaire décrivant son
état avant l’extinction. Nous allons généraliser ce résultat aux processus markoviens de
saut à espace d’états fini.
On s’intéresse donc ici à un processus markovien (Z t ) t≥0 prenant ses valeurs dans l’espace
{0, 1, . . . , N} (où N ≥ 1 est un entier fixé) et dont le seul état absorbant est 0. On suppose
que le temps d’atteinte T 0 de 0 est fini p.s..
On rappelle que si ν est une distribution sur {1, . . . , N}, P ν désigne la mesure de probabilité donnée par
P ν (Z t = j) =
N
i=1
ν(i) P i (Z t = j),
∀t ≥ 0, j ∈ {0, . . . , N},
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III.1 - On note T x = inf{t ≥ 0 : Y t = x} pour x ≥ 0.
a - Montrer que α = sup{IP x (Y 1 > 0) : x ∈ [0, 2]} < 1 et que pour tout n ∈ N,
P 1 (Y n+1 > 0, Y n < 2, Y n−1 < 2, ....Y 1 < 2) ≤ α
n+1 .
En déduire que P 1 (T 0 = ∞, T 2 = ∞) = 0.
b - Montrer en utilisant la partie précédente que
IP 1 (T 2 < T 0 ) ≥ 1 − exp(−
1
σ 2 ) > 0.
Si la population d’insectes atteint la taille 2, elle se divise en deux sous-populations
de taille 1 à cause de contraintes de ressources. Les deux populations évoluent alors
indépendamment suivant des diffusions de Feller de paramètre σ issues de 1. Celles-ci, de
manière similaire, s’éteignent ou atteignent le niveau 2 et se séparent de nouveau en deux
sous-populations de taille 1, etc.
III.2 - On considère le processus de Galton-Watson Z n où chaque individu meurt avec
probabilité 1 − p et a deux enfants avec probabilité p, où p = IP 1 (T 2 < T 0 ).
Justifier que la probabilité que le nombre de sous-populations d’insectes en vie atteigne
zéro en temps fini est la probabilité d’extinction du processus Z n .
III.3 - Quelle est la probabilité que la taille totale de la population d’insectes (obtenue en
sommant sur les tailles de chaque sous-population) tende vers l’infini en temps infini ?
Que dire alors du comportement asymptotique du nombre de populations présentes ?
Exercice 5.7.10
Comportement quasi-stationnaire de certains processus
Le but de ce problème est de comprendre le comportement en temps long de certains
processus markoviens. Par exemple, il a été vu en cours qu’un processus de Galton-Watson
sous-critique s’éteint en temps fini avec probabilité 1, mais que le conditionner à survivre
pendant un long temps permet d’obtenir une distribution quasi-stationnaire décrivant son
état avant l’extinction. Nous allons généraliser ce résultat aux processus markoviens de
saut à espace d’états fini.
On s’intéresse donc ici à un processus markovien (Z t ) t≥0 prenant ses valeurs dans l’espace
{0, 1, . . . , N} (où N ≥ 1 est un entier fixé) et dont le seul état absorbant est 0. On suppose
que le temps d’atteinte T 0 de 0 est fini p.s..
On rappelle que si ν est une distribution sur {1, . . . , N}, P ν désigne la mesure de probabilité donnée par
P ν (Z t = j) =
N
i=1
ν(i) P i (Z t = j),
∀t ≥ 0, j ∈ {0, . . . , N},
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