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CHAPITRE 5. PROCESSUS DE POPULATION EN TEMPS CONTINU
a - Montrer que (v λ (t, ¯
Y t ) : 0 ≤ t ≤ t 0 ) satisfait l’équation différentielle stochastique
v λ (t, ¯
Y t ) = v λ (0, y 0 ) −
t
0
λ
v λ (s, ¯
Y s )
σ 2 λ(exp(−s) − exp(−t 0 )) + 1
e
−s/2 σ
2 ¯
Y s dB s .
On admettra alors que (v λ (t, ¯
Y t ) : 0 ≤ t ≤ t 0 ) est une martingale par rapport à la filtration
brownienne.
b - En déduire la valeur de E y0
v λ (t 0 , ¯
Y t0 )
puis que
E y0 (exp(−λY t )) = exp
−
y 0
σ 2 (1 − exp(−t)) + (λ exp(t)) −1
.
c - Justifier sommairement que la loi de Y t partant de y 0 + y
0 est la même que celle de
Y
1
t + Y
2
t , où Y
1 et Y
2 sont deux diffusions de Feller indépendantes de même loi que Y
issues respectivement de y 0 et y
0 .
II.3 - Montrer que
IP y0 (Y t > 0) = 1 − exp
−
y 0
σ 2 (1 − exp(−t))
,
puis que IP y0 (∀t ≥ 0 : Y t > 0) = 1 − exp(−y 0 /σ
2 ).
II.4 - On considère pour N ≥ 1 le processus de branchement binaire (X
N
t : t ≥ 0) avec
taux de naissance individuel b N = b + σ
2 N et taux de mort individuel d N = b − 1 + σ
2 N ,
où b > 1.
a - A votre avis, que modélisent des taux de naissance et de mort de cette forme ?
Quel est le taux de croissance moyen de la population ?
b - Vérifier que u
(N )
λ (t) = E 1 (exp(−λX
N
t )) satisfait
1 − u
(N )
λ/N (t) ∼
1
N
λ
λσ 2 + (1 − λσ 2 ) exp(−t)
lorsque N → ∞.
c - En déduire que pour tous t, λ ≥ 0,
E(exp(−λX
N
t /N ) | X 0 = N )
N →∞
−→ E 1 (exp(−λY t )).
d - Expliquer comment simuler une diffusion de Feller de paramètre σ à partir de variables
aléatoires exponentielles de paramètre 1 indépendantes.
Partie III : Diffusion de Feller branchante
Une population d’insectes se développe avec des naissances et des morts rapides. On
modélise sa taille Y t au temps t par la diffusion de Feller de paramètre σ > 0 définie dans
la partie II. On suppose que la taille initiale de la population est Y 0 = 1 p.s.
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CHAPITRE 5. PROCESSUS DE POPULATION EN TEMPS CONTINU
a - Montrer que (v λ (t, ¯
Y t ) : 0 ≤ t ≤ t 0 ) satisfait l’équation différentielle stochastique
v λ (t, ¯
Y t ) = v λ (0, y 0 ) −
t
0
λ
v λ (s, ¯
Y s )
σ 2 λ(exp(−s) − exp(−t 0 )) + 1
e
−s/2 σ
2 ¯
Y s dB s .
On admettra alors que (v λ (t, ¯
Y t ) : 0 ≤ t ≤ t 0 ) est une martingale par rapport à la filtration
brownienne.
b - En déduire la valeur de E y0
v λ (t 0 , ¯
Y t0 )
puis que
E y0 (exp(−λY t )) = exp
−
y 0
σ 2 (1 − exp(−t)) + (λ exp(t)) −1
.
c - Justifier sommairement que la loi de Y t partant de y 0 + y
0 est la même que celle de
Y
1
t + Y
2
t , où Y
1 et Y
2 sont deux diffusions de Feller indépendantes de même loi que Y
issues respectivement de y 0 et y
0 .
II.3 - Montrer que
IP y0 (Y t > 0) = 1 − exp
−
y 0
σ 2 (1 − exp(−t))
,
puis que IP y0 (∀t ≥ 0 : Y t > 0) = 1 − exp(−y 0 /σ
2 ).
II.4 - On considère pour N ≥ 1 le processus de branchement binaire (X
N
t : t ≥ 0) avec
taux de naissance individuel b N = b + σ
2 N et taux de mort individuel d N = b − 1 + σ
2 N ,
où b > 1.
a - A votre avis, que modélisent des taux de naissance et de mort de cette forme ?
Quel est le taux de croissance moyen de la population ?
b - Vérifier que u
(N )
λ (t) = E 1 (exp(−λX
N
t )) satisfait
1 − u
(N )
λ/N (t) ∼
1
N
λ
λσ 2 + (1 − λσ 2 ) exp(−t)
lorsque N → ∞.
c - En déduire que pour tous t, λ ≥ 0,
E(exp(−λX
N
t /N ) | X 0 = N )
N →∞
−→ E 1 (exp(−λY t )).
d - Expliquer comment simuler une diffusion de Feller de paramètre σ à partir de variables
aléatoires exponentielles de paramètre 1 indépendantes.
Partie III : Diffusion de Feller branchante
Une population d’insectes se développe avec des naissances et des morts rapides. On
modélise sa taille Y t au temps t par la diffusion de Feller de paramètre σ > 0 définie dans
la partie II. On suppose que la taille initiale de la population est Y 0 = 1 p.s.
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