5.7. EXERCICES
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I.3 - Montrer que IP 1 (X t = 0) peut s’obtenir à partir de la fonction λ → u λ (t, 1).
En déduire que pour tout t ≥ 0,
IP 1 (X t > 0) =
(b − d)
b − d exp(−(b − d)t)
.
Remarque : On trouve ainsi la vitesse d’extinction du processus de branchement binaire.
obtenu au Paragraphe 5.4.5.
Partie II : Diffusion de Feller et comportement asymptotique.
On appelle diffusion de Feller (Y t : t ≥ 0) de paramètre σ > 0 le processus qui vérifie
l’équation différentielle stochastique :
Y t = y 0 +
t
0
Y s ds +
t
0
σ
2 Y s dB s ,
avec y 0 ≥ 0.
II.0 - Considérons le processus Z solution de l’EDS
Z t = z 0 +
t
0
h(Z s ) ds +
t
0
g(s, Z s ) dB s .
Justifier que pour la fonction f de classe C
1,2 (R + × R, R),
f (t, Z t ) = f (0, z 0 ) +
t
0
∂f
∂s
(s, Z s ) +
∂f
∂y
(s, Z s )h(Z s ) +
1
2
∂
2 f
∂y 2 (s, Z s )g(s, Z s )
2
ds
+
t
0
∂f
∂y
(s, Z s )g(s, Z s ) dB s .
II.1 - Montrer que ¯
Y t = Y t e
−t vérifie l’équation différentielle stochastique
¯
Y t = y 0 +
t
0
e
−s/2 σ
2 ¯
Y s dB s .
II.2 - Soit t 0 ≥ 0. On pose pour t ∈ [0, t 0 ], et λ, y ≥ 0,
v λ (t, y) = exp
−
λy
σ 2 λ(exp(−t) − exp(−t 0 )) + 1
et on vérifie facilement que cette fonction satisfait pour tous s, y ≥ 0,
∂v λ
∂s
(s, y) +
∂
2 v λ
∂y 2 (s, y) σ
2 ye
−s = 0.
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