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CHAPITRE 5. PROCESSUS DE POPULATION EN TEMPS CONTINU
7 - Montrer que
π 0 =
1 −
λ
μ
a
λ
.
On pourra utiliser la formule suivante : pour tout x ∈ [0, 1[, pour tout N ∈ R + ,
1
(1 − x) N =
∞
k=0
N + k − 1
k
x
k ,
où pour tout N ∈ R + ,
N + k − 1
k
=
(N + k − 1)(N + k − 2) · · · N
k!
.
8 - En déduire π.
Exercice 5.7.9 Processus de branchement binaire et diffusion de Feller - Modèle de division de populations.
Partie I : Processus de branchement binaire.
On considère un processus de naissance et mort (X t : t ≥ 0) où indépendamment, les
individus se reproduisent au taux b et meurent au taux d, avec b = d.
I.0 - Quelle est alors la loi du temps de vie d’un individu donné ?
A quelle(s) hypothèse(s) biologique(s) ces caractéristiques mathématiques correspondentelles ?
Quelle est la loi du nombre de fois où un individu se reproduira au cours de son existence ?
I.1 - Quel est le générateur du processus (X t : t ≥ 0) ?
I.2 - On note u λ (t, x) = E(exp(−λX t ) | X 0 = x) pour λ ≥ 0 et x ∈ N.
a - Montrer que pour tout t ≥ 0 et x ∈ N,
u λ (t, x) = u λ (t, 1)
x .
b - Montrer que u λ vérifie pour tout t ≥ 0
∂
∂t
u λ (t, 1) = (u λ (t, 1) − 1)(bu λ (t, 1) − d),
u λ (0, 1) = exp(−λ).
Cette équation se résout par séparation des variables et on admet que
u λ (t, 1) = 1 −
(b − d)
b − [b − d exp(λ)][1 − exp(λ)] −1 exp(−(b − d)t)
.
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CHAPITRE 5. PROCESSUS DE POPULATION EN TEMPS CONTINU
7 - Montrer que
π 0 =
1 −
λ
μ
a
λ
.
On pourra utiliser la formule suivante : pour tout x ∈ [0, 1[, pour tout N ∈ R + ,
1
(1 − x) N =
∞
k=0
N + k − 1
k
x
k ,
où pour tout N ∈ R + ,
N + k − 1
k
=
(N + k − 1)(N + k − 2) · · · N
k!
.
8 - En déduire π.
Exercice 5.7.9 Processus de branchement binaire et diffusion de Feller - Modèle de division de populations.
Partie I : Processus de branchement binaire.
On considère un processus de naissance et mort (X t : t ≥ 0) où indépendamment, les
individus se reproduisent au taux b et meurent au taux d, avec b = d.
I.0 - Quelle est alors la loi du temps de vie d’un individu donné ?
A quelle(s) hypothèse(s) biologique(s) ces caractéristiques mathématiques correspondentelles ?
Quelle est la loi du nombre de fois où un individu se reproduira au cours de son existence ?
I.1 - Quel est le générateur du processus (X t : t ≥ 0) ?
I.2 - On note u λ (t, x) = E(exp(−λX t ) | X 0 = x) pour λ ≥ 0 et x ∈ N.
a - Montrer que pour tout t ≥ 0 et x ∈ N,
u λ (t, x) = u λ (t, 1)
x .
b - Montrer que u λ vérifie pour tout t ≥ 0
∂
∂t
u λ (t, 1) = (u λ (t, 1) − 1)(bu λ (t, 1) − d),
u λ (0, 1) = exp(−λ).
Cette équation se résout par séparation des variables et on admet que
u λ (t, 1) = 1 −
(b − d)
b − [b − d exp(λ)][1 − exp(λ)] −1 exp(−(b − d)t)
.
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