5.7. EXERCICES
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2-a - Déterminer l’équation satisfaite par cette probabilité invariante π.
2-b - Montrer que, pour chaque i ∈ N
∗ , on a π i =
λ
i−1
i! μ i−1 π 1 .
2-c - Montrer que π 1 =
λ
μ(e λ/μ − 1)
.
3 - Soit Y une variable aléatoire de Poisson de paramètre a > 0.
3-a - Calculer P(Y > 0).
En déduire la valeur de P(Y = i|Y > 0) pour tout i ∈ N
∗ .
3-b - Montrer que π est la loi de Poisson d’une variable aléatoire de Poisson conditionnée
à rester strictement positive, dont on donnera le paramètre.
Exercice 5.7.8 Le but de l’exercice est de modéliser une dynamique de population avec
immigration.
Soit (X t , t ≥ 0) un processus de naissance et de mort, à valeurs dans N, de générateur Q
donné pour tout k ≥ 1 (k nombre entier), par :
Q k,k+1 = λk + a,
Q k,k−1 = μk,
Q k,k = −(λk + μk + a),
où a, λ et μ sont trois réels strictement positifs.
1 - Donner la chaîne de Markov incluse.
2 - Soit P ij (t) = P(X t = i|X 0 = j). Ecrire l’équation aux dérivées partielles pour P .
3 - Soit E i (X t ) = E(X t |X 0 = i). Montrer que
∂ t E i (X t ) = (λ − μ)E(X t |X 0 = i) + a.
4 - Calculer E i (X t ).
5 - Etudier la limite, quand t → +∞, de E i (X t ). On pourra discuter suivant les valeurs
respectives de λ et μ.
6 - Soit π = (π j , j ∈ N) une probabilité sur N telle que πQ = 0.
On suppose que λ < μ. Montrer que pour tout k ≥ 1
π k =
a(λ + a)(2λ + a) · · · ((k − 1)λ + a)
μ.2μ · · · (k − 1)μ.kμ
π 0 .
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