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CHAPITRE 5. PROCESSUS DE POPULATION EN TEMPS CONTINU
5 - Dans le cas où s = 0 en déduire une expression pour E 1 (T N |T N < +∞).
Exercice 5.7.6
Soit (Z t , t ≥ 0) un processus de branchement binaire de taux de naissance et de mort
respectivement b et d. On note r = b − d le taux de croissance, et l’on suppose que r > 0.
On note IP k la loi de ce processus issu de k individus.
1 - Justifier que pour tout entier k, et tout t ∈ R + , on a E k (Z t ) = ku(t), où u est une
fonction qui ne dépend que de t.
En déduire que pour tout entier k, et tout t ∈ R + , on a E k (Z t ) = k exp(rt), où l’indice k
indique que Z 0 = k. (On pourra utiliser l’équation de Kolmogorov rétrograde).
2 - En utilisant la propriété de Markov, montrer que (Z t exp(−rt); t ≥ 0) est une
martingale (pour la filtration engendrée par Z).
3 - On désigne par T n le premier temps d’atteinte de l’entier n par le processus (Z t , t ≥ 0).
3-a - Justifier que
T n > T 0 ⇒ T n = +∞.
3-b - En déduire rigoureusement que E k (exp(−rT n )) = k/n, ∀ n ≥ k.
4 - Soit ρ une variable aléatoire de loi exponentielle de paramètre r > 0, indépendante du
processus (Z t , t ≥ 0).
4-a - Montrer que P k (T n ≤ ρ) =
k
n
.
4-b - Soit S t := sup s≤t Z s . Trouver la loi de S ρ .
Que vaut E(S ρ ) ?
Exercice 5.7.7
Soit (X t , t ≥ 0) un processus de naissance et mort en temps continu, issu de X 0 > 0 et de
générateur
Q i,i+1 = λ i, ∀i ≥ 0,
Q i,i−1 = μ i(i − 1), ∀i ≥ 1.
1-a - Le processus (X t , t ≥ 0) peut-il atteindre 0 ?
1-b - Donner les probabilités de transition de la chaîne de Markov incluse.
1-c - Montrer que la chaîne de Markov incluse est irréductible sur N
∗ . Est-elle irréductible
sur N ?
2 - Soit π = (π j , j ∈ N
∗ ) une probabilité invariante sur N
∗ , c’est à dire telle que π Q = 0.
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CHAPITRE 5. PROCESSUS DE POPULATION EN TEMPS CONTINU
5 - Dans le cas où s = 0 en déduire une expression pour E 1 (T N |T N < +∞).
Exercice 5.7.6
Soit (Z t , t ≥ 0) un processus de branchement binaire de taux de naissance et de mort
respectivement b et d. On note r = b − d le taux de croissance, et l’on suppose que r > 0.
On note IP k la loi de ce processus issu de k individus.
1 - Justifier que pour tout entier k, et tout t ∈ R + , on a E k (Z t ) = ku(t), où u est une
fonction qui ne dépend que de t.
En déduire que pour tout entier k, et tout t ∈ R + , on a E k (Z t ) = k exp(rt), où l’indice k
indique que Z 0 = k. (On pourra utiliser l’équation de Kolmogorov rétrograde).
2 - En utilisant la propriété de Markov, montrer que (Z t exp(−rt); t ≥ 0) est une
martingale (pour la filtration engendrée par Z).
3 - On désigne par T n le premier temps d’atteinte de l’entier n par le processus (Z t , t ≥ 0).
3-a - Justifier que
T n > T 0 ⇒ T n = +∞.
3-b - En déduire rigoureusement que E k (exp(−rT n )) = k/n, ∀ n ≥ k.
4 - Soit ρ une variable aléatoire de loi exponentielle de paramètre r > 0, indépendante du
processus (Z t , t ≥ 0).
4-a - Montrer que P k (T n ≤ ρ) =
k
n
.
4-b - Soit S t := sup s≤t Z s . Trouver la loi de S ρ .
Que vaut E(S ρ ) ?
Exercice 5.7.7
Soit (X t , t ≥ 0) un processus de naissance et mort en temps continu, issu de X 0 > 0 et de
générateur
Q i,i+1 = λ i, ∀i ≥ 0,
Q i,i−1 = μ i(i − 1), ∀i ≥ 1.
1-a - Le processus (X t , t ≥ 0) peut-il atteindre 0 ?
1-b - Donner les probabilités de transition de la chaîne de Markov incluse.
1-c - Montrer que la chaîne de Markov incluse est irréductible sur N
∗ . Est-elle irréductible
sur N ?
2 - Soit π = (π j , j ∈ N
∗ ) une probabilité invariante sur N
∗ , c’est à dire telle que π Q = 0.
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