5.7. EXERCICES
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9 - En déduire que
P(T
1
n < T
2
m ) =
n+m−1
k=n
n + m − 1
k
λ 1
λ 1 + λ 2
k λ 2
λ 1 + λ 2
n+m−1−k
.
Exercice 5.7.4
Considérons un processus de naissance et mort avec les notations du Paragraphe 5.5.2 et
supposons que (5.5.32) soit vérifié. Montrer que pour tout n ≥ 0,
E n+1 (T
2
n ) =
2
λ n π n
i≥n
λ i π i E i+1 (T i )
2 ;
E n+1 (T
3
n ) =
6
λ n π n
i≥n
λ i π i E i+1 (T i ) Var i+1 (T i ).
Exercice 5.7.5
On considère une population constituée de N individus de deux types, notés A et a. La
dynamique de cette population est la suivante : chaque individu A donne naissance à un
autre individu A au taux 1 et chaque individu a donne naissance à un autre individu a
au taux 1 + s, où s > −1 représente l’avantage sélectif de a. Simultanément à chaque
naissance, un individu est choisi au hasard parmi les N individus de la population, et
meurt au profit du nouveau-né.
Ainsi, la population reste de taille constante égale à N .
On note N t le nombre d’individus de type a présents au temps t.
1 - Supposons qu’il y ait k individus de type a dans la population. Quel est le taux de
naissance d’un individu de type a ? Quelle est la probabilité qu’un individu de type A soit
remplacé par un individu de type a ?
En déduire le générateur infinitésimal du processus de Markov (N t , t ≥ 0). Que dire des
états 0 et N pour le processus (N t , t ≥ 0) ?
2 - On note T N = inf{t ≥ 0 : N t = N } et pour k ∈ {0, . . . , N} on pose
u(k) = P k (T N < +∞) = P(T N < +∞|N 0 = k).
Pour k ∈ {1, . . . , N − 1} donner une relation reliant u(k + 1), u(k) et u(k − 1).
3 - En déduire une expression de u. (On pourra traiter à part le cas s = 0).
4 - Pour tout k ∈ {0, . . . , N} on note w(k) = E k (T N T N <+∞ ) = E(T N T N <+∞ |N 0 = k).
Montrez que pour tout k ∈ {1, . . . , N − 1} on a la relation
k(N − k)
N
(1 + s)(w(k + 1) − w(k)) +
k(N − k)
N
(w(k − 1) − w(k)) = −u(k).
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9 - En déduire que
P(T
1
n < T
2
m ) =
n+m−1
k=n
n + m − 1
k
λ 1
λ 1 + λ 2
k λ 2
λ 1 + λ 2
n+m−1−k
.
Exercice 5.7.4
Considérons un processus de naissance et mort avec les notations du Paragraphe 5.5.2 et
supposons que (5.5.32) soit vérifié. Montrer que pour tout n ≥ 0,
E n+1 (T
2
n ) =
2
λ n π n
i≥n
λ i π i E i+1 (T i )
2 ;
E n+1 (T
3
n ) =
6
λ n π n
i≥n
λ i π i E i+1 (T i ) Var i+1 (T i ).
Exercice 5.7.5
On considère une population constituée de N individus de deux types, notés A et a. La
dynamique de cette population est la suivante : chaque individu A donne naissance à un
autre individu A au taux 1 et chaque individu a donne naissance à un autre individu a
au taux 1 + s, où s > −1 représente l’avantage sélectif de a. Simultanément à chaque
naissance, un individu est choisi au hasard parmi les N individus de la population, et
meurt au profit du nouveau-né.
Ainsi, la population reste de taille constante égale à N .
On note N t le nombre d’individus de type a présents au temps t.
1 - Supposons qu’il y ait k individus de type a dans la population. Quel est le taux de
naissance d’un individu de type a ? Quelle est la probabilité qu’un individu de type A soit
remplacé par un individu de type a ?
En déduire le générateur infinitésimal du processus de Markov (N t , t ≥ 0). Que dire des
états 0 et N pour le processus (N t , t ≥ 0) ?
2 - On note T N = inf{t ≥ 0 : N t = N } et pour k ∈ {0, . . . , N} on pose
u(k) = P k (T N < +∞) = P(T N < +∞|N 0 = k).
Pour k ∈ {1, . . . , N − 1} donner une relation reliant u(k + 1), u(k) et u(k − 1).
3 - En déduire une expression de u. (On pourra traiter à part le cas s = 0).
4 - Pour tout k ∈ {0, . . . , N} on note w(k) = E k (T N T N <+∞ ) = E(T N T N <+∞ |N 0 = k).
Montrez que pour tout k ∈ {1, . . . , N − 1} on a la relation
k(N − k)
N
(1 + s)(w(k + 1) − w(k)) +
k(N − k)
N
(w(k − 1) − w(k)) = −u(k).
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