2
CHAPITRE 5. PROCESSUS DE POPULATION EN TEMPS CONTINU
Exercice 5.7.3
Soient (N
1
t , t ≥ 0) et (N
2
t , t ≥ 0) deux processus de Poisson indépendants d’intensité
respective λ 1 et λ 2 . Ces deux processus sont définis par leurs suites de temps de sauts :
(T
1
n ) n et (T
2
m ) m , par :
N
1
t
=
j≥1
{T 1
j ≤t} ; N
2
t =
j≥1
{T 2
j ≤t} .
1 - Quelle est la loi du couple de variables aléatoires (T
1
1 , T
2
1 ) ?
2 - En déduire la valeur de P(T
1
1 < T
2
1 ).
3 - Quelle est loi de la variable aléatoire τ = inf(T
1
1 , T
2
1 ).
4 - Soit 0 ≤ s ≤ t. Donner la fonction génératrice de la variable aléatoire N
1
t − N
1
s .
5 - On définit le processus (N t , t ≥ 0) par N t = N
1
t + N
2
t .
Donner la fonction génératrice de la variable aléatoire N t − N s .
En déduire que (N t , t ≥ 0) est un processus de Poisson d’intensité λ 1 + λ 2 .
6 - On note R k la suite des temps de saut de (N t ) t :
N t =
j≥1
{Rj ≤t} .
On introduit également une suite (X j ) j de variables aléatoires indépendantes, de même
loi de Bernoulli de paramètre
λ1
λ1+λ2
, et indépendante du processus de Poisson (N t ) t .
On définit les processus (M
1
t ) t et (M
2
t ) t par
M
1
t
=
j≥1
{Rj ≤t} {Xj =1} ; M
2
t =
j≥1
{Rj ≤t} {Xj =0} .
Calculer, en conditionnant par la valeur de N t , la probabilité P(M
1
t = k 1 ; M
2
t = k 2 ), pour
k 1 , k 2 ∈ N.
En déduire que M
1
t et M
2
t sont deux variables aléatoires de Poisson indépendantes de
paramètres respectifs λ 1 et λ 2 .
On admettra de plus que les processus (M
1
t ) t et (M
2
t ) t sont des processus de Poisson
indépendants d’intensités respectives λ 1 et λ 2 .
7 - On rappelle que R n+m−1 est le (n + m − 1)-ième temps de saut du processus (N t ).
Montrer que pour tout entier k ≤ n + m − 1, on a
P(M
1
Rn+m−1 = k) =
n + m − 1
k
λ 1
λ 1 + λ 2
k λ 2
λ 1 + λ 2
n+m−1−k
.
8 - Justifier que pour n, m ∈ N
∗ , {T
1
n < T
2
m } a même probabilité que {M
1
Rn+m−1 ≥ n}, où
T
1
n et T
2
m ont été définis au début de l’exercice.
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CHAPITRE 5. PROCESSUS DE POPULATION EN TEMPS CONTINU
Exercice 5.7.3
Soient (N
1
t , t ≥ 0) et (N
2
t , t ≥ 0) deux processus de Poisson indépendants d’intensité
respective λ 1 et λ 2 . Ces deux processus sont définis par leurs suites de temps de sauts :
(T
1
n ) n et (T
2
m ) m , par :
N
1
t
=
j≥1
{T 1
j ≤t} ; N
2
t =
j≥1
{T 2
j ≤t} .
1 - Quelle est la loi du couple de variables aléatoires (T
1
1 , T
2
1 ) ?
2 - En déduire la valeur de P(T
1
1 < T
2
1 ).
3 - Quelle est loi de la variable aléatoire τ = inf(T
1
1 , T
2
1 ).
4 - Soit 0 ≤ s ≤ t. Donner la fonction génératrice de la variable aléatoire N
1
t − N
1
s .
5 - On définit le processus (N t , t ≥ 0) par N t = N
1
t + N
2
t .
Donner la fonction génératrice de la variable aléatoire N t − N s .
En déduire que (N t , t ≥ 0) est un processus de Poisson d’intensité λ 1 + λ 2 .
6 - On note R k la suite des temps de saut de (N t ) t :
N t =
j≥1
{Rj ≤t} .
On introduit également une suite (X j ) j de variables aléatoires indépendantes, de même
loi de Bernoulli de paramètre
λ1
λ1+λ2
, et indépendante du processus de Poisson (N t ) t .
On définit les processus (M
1
t ) t et (M
2
t ) t par
M
1
t
=
j≥1
{Rj ≤t} {Xj =1} ; M
2
t =
j≥1
{Rj ≤t} {Xj =0} .
Calculer, en conditionnant par la valeur de N t , la probabilité P(M
1
t = k 1 ; M
2
t = k 2 ), pour
k 1 , k 2 ∈ N.
En déduire que M
1
t et M
2
t sont deux variables aléatoires de Poisson indépendantes de
paramètres respectifs λ 1 et λ 2 .
On admettra de plus que les processus (M
1
t ) t et (M
2
t ) t sont des processus de Poisson
indépendants d’intensités respectives λ 1 et λ 2 .
7 - On rappelle que R n+m−1 est le (n + m − 1)-ième temps de saut du processus (N t ).
Montrer que pour tout entier k ≤ n + m − 1, on a
P(M
1
Rn+m−1 = k) =
n + m − 1
k
λ 1
λ 1 + λ 2
k λ 2
λ 1 + λ 2
n+m−1−k
.
8 - Justifier que pour n, m ∈ N
∗ , {T
1
n < T
2
m } a même probabilité que {M
1
Rn+m−1 ≥ n}, où
T
1
n et T
2
m ont été définis au début de l’exercice.
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